[논문 리뷰] Stochastic differential equations with non-lipschitz coefficients: I. Pathwise uniqueness and large deviation

Shizan Fang, Tusheng Zhang|arXiv (Cornell University)|2003. 11. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비리프시츠 계수를 만족하는 로그 헬더 유형 조건을 갖는 확률미분방정식(SDEs)에 대해 경로별 유일성과 프라이드린-웬틀 유형의 대규모 편차 원리가 성립함을 증명한다. 보조 함수 $(\Phi_\rho)$의 가족을 구성함으로써, 비리프시츠 설정에서 그론월라의 부정확성 문제를 해결하고, 강한 해의 존재성과 대규모 편차 분석에 필수적인 지수 모멘트 추정을 가능하게 하였다. 이는 유계 및 비유계 계수의 경우 모두 적용 가능하다.

ABSTRACT

We study a class of stochastic differential equations with non-Lipschitzian coefficients.A unique strong solution is obtained and a large deviation principle of Freidln-Wentzell type has been established.

연구 동기 및 목표

• 드리프트 및 확산 계수들이 로그 헬더 조건을 만족할 때 SDEs에 대해 경로별 유일성을 확립하는 것.
• 계수들이 $|x|\log|x|$ 성장 조건을 만족할 경우 해의 폭발이 발생하지 않음을 증명하는 것.
• 비리프시츠 계수를 갖는 SDEs의 소음이 작은 극한에서 프라이드린-웬틀 유형의 대규모 편차 원리가 성립함을 도출하는 것.
• 유일한 강한 해가 지수 모멘트 추정을 활용하여 오일러 스킴에 의해 근사 가능함을 보이는 것.

제안 방법

• 비리프시츠 조건 하에서 그론월라 유형 부등식의 적용 가능성을 회복하기 위해, 양수이자 증가하는 함수의 가족 $(\Phi_\rho)_{\rho>0}$ 을 도입하여 이토 과정을 재가중하는 것.
• 함수 $\psi(\xi) = \int_0^\xi \frac{ds}{s r(s) + 1}$ 과 $\Phi(\xi) = e^{\psi(\xi)}$ 를 사용하여 $|X_t|^2$ 의 성장을 통제하고, $|x|\log|x|$ 성장 조건 하에서 폭발이 발생하지 않음을 증명하는 것.
• 문제를 국소화하고 컴act 집합에서 대규모 편차 기법을 적용하기 위해, 계수 $b_R, \sigma_R$ 가 유계인 SDE의 잘린 형태를 구성하는 것.
• 동일한 함수 가족 $\Phi_{\rho,\lambda}$ 를 사용하여 오일러 근사의 지수 모멘트 추정을 증명함으로써, 비리프시츠 영역에서 표준 모멘트 추정의 실패를 극복하는 것.
• 수축 원리에 의해, 해의 법칙이 좋은 비용 함수 $I(f)$ 를 갖는 프라이드린-웬틀 LDP를 만족함을 증명하는 것.
• 비용 함수의 수준집합에서 컴팩턴스와 연속성의 논증을 통해 $I(\cdot)$ 가 좋은 비용 함수임을 증명함으로써, 비유계 계수의 경우에도 LDP 가 성립함을 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수들이 표준 리프시츠 조건 대신 로그 헬더 조건을 만족할 경우, SDEs에 대해 경로별 유일성이 성립하는가?
• RQ2 비리프시츠 연속성으로 인해 피카르 반복이 실패하더라도, 이러한 SDEs에 대해 강한 해를 구성할 수 있는가?
• RQ3 비리프시츠 계수를 갖는 SDEs에 대해, 특히 소음이 작은 극한에서 프라이드린-웬틀 유형의 대규모 편차 원리가 성립하는가?
• RQ4 이러한 완화된 계수 조건 하에서 오일러 스킴이 진짜 해로 지수적으로 빠르게 수렴함을 보일 수 있는가?
• RQ5 비유계 계수의 경우, SDE의 대규모 편차 원리의 비용 함수가 잘 정의되고 양호한가(즉, 컴팩트한 수준집합을 갖는가)?

주요 결과

• 로그 헬더 조건 (H.1) 을 만족하는 SDEs에 대해, 보조 함수 $\Phi_\rho$ 를 사용하여 그론월라 유형 추정을 복원함으로써, 계수들이 리프시츠가 아니어도 경로별 유일성이 성립함을 보였다.
• 성장 조건 $|x|\log|x|$ 하에서 해의 폭발이 보장되며, 이는 리아풀로프 유형 함수 $\Phi(\xi) = \exp\left(\int_0^\xi \frac{ds}{s r(s) + 1}\right)$ 를 통해 증명되었고, 여기서 $r(s) = \log s$ 이다.
• 소음이 작은 SDE $dX^\varepsilon(t) = \varepsilon^{1/2} \sigma(X^\varepsilon(t)) dW_t + b(X^\varepsilon(t)) dt$ 에 대해, 좋은 비용 함수 $I(f)$ 를 갖는 프라이드린-웬틀 유형의 대규모 편차 원리가 성립함을 증명하였다. 이 비용 함수 $I(f)$ 는 스켈레톤 방정식을 통해 정의된다.
• 모든 $\alpha \geq 0$ 에 대해 $\{f : I(f) \leq \alpha\}$ 가 컴팩트함을 증명함으로써 비용 함수 $I(f)$ 가 양호함을 보였다. 이는 국소화와 해의 매핑의 연속성에 기반한다.
• 비유계 계수의 경우, $\mu_\varepsilon(C) \leq \mu_\varepsilon^R(C_R) + P(\sup_t |X^\varepsilon(t)| > R)$ 를 증명하고 $R \to \infty$ 로 보내는 방식으로 대규모 편차 원리를 확장하였으며, 이는 지수 尾 꼬리 추정을 활용한 것이다.
• 유일한 강한 해는 오일러 근사의 극한으로 얻어지며, 주어진 비리프시츠 조건 하에서 $L^1$ 의미에서 수렴 속도가 지수적으로 빠르게 이루어진다.