[논문 리뷰] Stochastic equation and exponential ergodicity in Wasserstein distances for affine processes

Martin Friesen, Peng Jin외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 17.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 54인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 보존적인 애फ인 프로세스를 캐논컬 상태공간 $\mathbb{R}^m_+ \times \mathbb{R}^n$ 위에서 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 확률미분방정식의 강해로 경로에 따라 구성한다. 또한 점프 측도의 모멘트 및 로그모멘트 조건 하에서 워샤르스탄 거리에서 지수적 에르고딕성을 증명하며, 상태에 의존하는 점프와 상태에 독립적인 점프를 가진 일반적인 애프인 프로세스에 대해 이러한 결과를 처음으로 제시한다.

ABSTRACT

This work is devoted to the study of conservative affine processes on the canonical state space $D = $R_+^m imes \R^n$, where $m + n > 0$. We show that each affine process can be obtained as the pathwise unique strong solution to a stochastic equation driven by Brownian motions and Poisson random measures. Then we study the long-time behavior of affine processes, i.e., we show that under first moment condition on the state-dependent and log-moment conditions on the state-independent jump measures, respectively, each subcritical affine process is exponentially ergodic in a suitably chosen Wasserstein distance. Moments of affine processes are studied as well.

연구 동기 및 목표

• 보존적인 애프인 프로세스를 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 확률미분방정식의 강해로 경로에 따라 구성하는 것.
• 워샤르스탄 거리에서의 에르고딕성에 의한 장기적 행동 분석.
• 지수적 에르고딕성을 보장하는 첫 번째 모멘트 및 로그모멘트 조건과 같은 충분조건 유도.
• 이 조건 하에서 애프인 프로세스의 모멘트와 불변 분포를 특성화하는 것.
• 기존의 에르고딕성 결과를 상태에 의존하는 점프와 상태에 독립적인 점프를 모두 가진 일반적인 애프인 프로세스로 확장하는 것.

제안 방법

• 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 확률미분방정식의 유일한 강해로 애프인 프로세스를 구성한다.
• 특성 함수와 프로세스의 생성자를 특성화하기 위해 일반화된 리카티 방정식을 사용한다.
• 커플링 기법과 리아푸노프 함수를 사용하여 워샤르스탄 거리에서의 에르고딕성을 분석한다.
• 워샤르스탄 거리의 경계를 구하기 위해 칸토로비치 이중성과 볼록성 추정을 활용한다.
• 드라이프 및 점프 성분을 제어하기 위해 두 개의 리아푸노프 함수를 도입한다: $V_1(x) = (1 + |x|^2)^{\kappa/2}$ 및 $V_2(x) = \log(1 + |x|^2)$.
• 유한한 모멘트와 에르고딕성을 보장하기 위해 $\nu$ 및 $\mu_i$에 모멘트 조건을 부과한다 (예: $\int_{|\xi|>1} (1 + |\xi| + |\xi|^\kappa) \nu(d\xi) < \infty$).

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathbb{R}^m_+ \times \mathbb{R}^n$ 위의 보존적인 애프인 프로세스는 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 확률미분방정식의 경로에 따라 유일한 강해로 표현될 수 있는가?
• RQ2 점프 측도에 대해 어떤 조건이 하위임계 애프인 프로세스가 워샤르스탄 거리에서 지수적 에르고딕성을 가지게 하는가?
• RQ3 상태에 의존하는 점프와 상태에 독립적인 점프 성분은 애프인 프로세스의 장기적 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 불변 분포로의 수렴 속도를 정량화하는 데 사용할 수 있는 리아푸노프 함수는 무엇인가?
• RQ5 커플링 및 이중성 기법을 사용하여 전이 커널 간의 워샤르스탄 거리를 경계로 삼을 수 있는가?

주요 결과

• $\mathbb{R}^m_+ \times \mathbb{R}^n$ 위의 애프인 프로세스는 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 확률미분방정식의 경로에 따라 유일한 강해로 나타남이 입증되었다.
• 점프 측도에 대한 첫 번째 모멘트 및 로그모멘트 조건 하에서, 하위임계 애프인 프로세스는 워샤르스탄 거리 $d_\kappa$ 또는 $d_{\log}$에서 지수적 에르고딕성을 가진다.
• 수렴 속도는 드라이프 및 점프 성분을 제어하는 리아푸노프 함수 $V_1(x) = (1 + |x|^2)^{\kappa/2}$ 및 $V_2(x) = \log(1 + |x|^2)$를 통해 정량화된다.
• 논문은 $\mathcal{W}_d(P_t(x, \cdot), \pi) \leq C e^{-\lambda t}$를 증명하며, 이는 지수적 에르고딕성을 확립한다 (여기서 $\lambda > 0$).
• 결과는 상태에 의존하는 점프와 상태에 독립적인 점프를 모두 가진 일반적인 애프인 프로세스, 즉 CBI 및 OU 유형의 프로세스로 확장된다.
• 분석은 칸토로비치 이중성과 볼록성 추정을 사용하여 전이 커널 간의 워샤르스탄 거리를 경계하며, 장기적 행동 분석을 위한 견고한 프레임워크를 제공한다.