[논문 리뷰] Stochastic equations with delay: optimal control via BSDEs and regular solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations

Marco Fuhrman, Federica Masiero외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 06. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 지연을 가진 확률적 미분 방정식(SDDE)의 최적 제어 및 가격 설정 문제를 해결하기 위해 후행 확률적 미분 방정식(BSDE) 접근법을 개발한다. 상태 과정을 연속 함수 공간에서의 마코프 과정으로 재구성함으로써, 경로 공간 위에서의 미약한 해를 통한 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식에 의한 가치 함수와 헤지 전략의 특성화를 가능하게 한다. 주요 기여는 기억 효과를 포함하는 시스템으로 일반화된 블랙-쇼스 프레임워크에 기반한 가치 함수의 특성화이다.

ABSTRACT

We consider an Ito stochastic differential equation with delay, driven by brownian motion, whose solution, by an appropriate reformulation, defines a Markov process $X$ with values in a space of continuous functions $\mathbf C$, with generator $\mathcal L$. We then consider a backward stochastic differential equation depending on $X$, with unknown processes $(Y,Z)$, and we study properties of the resulting system, in particular we identify the process $Z$ as a deterministic functional of $X$. We next prove that the forward-backward system provides a suitable solution to a class of parabolic partial differential equations on the space $\mathbf C$ driven by $\mathcal L$, and we apply this result to prove a characterization of the fair price and the hedging strategy for a financial market with memory effects. We also include applications to optimal stochastic control of differential equation with delay: in particular we characterize optimal controls as feedback laws in terms the process $X$.

연구 동기 및 목표

• 지연이 있는 확률적 미분 방정식(SDDE)에 대한 최적 확률적 제어 문제를 지연된 상태 과정의 마코프 성질을 활용하여 다루기.
• 최적 제어 문제의 가치 함수를 연속 경로 공간 위에서의 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식의 해로 특성화하기.
• 특히 경로 공간과 같은 무한차원 상태 공간으로 BSDE 방법을 확장하여, 지연된 과정의 생성자에 의해 구동되는 타원형 PDE를 해결하기.
• 기억 효과가 있는 금융 시장에 이 프레임워크를 적용하여, 공정한 옵션 가격과 헤지 전략의 특성화를 제공하기.

제안 방법

• SDDE를 연속 함수 공간 $\mathbf{C} = C([-r,0]; \mathbb{R}^n)$ 에 값이 있는 마코프 과정 $X_t$ 로 재구성하여, 경로 공간 위의 확산 과정을 사용할 수 있도록 한다.
• 전진 SDDE와 $(Y,Z)$ 에 대한 후행 방정식을 연결하는 전진-후행 확률적 미분 시스템(FBSDE)을 구성한다. 여기서 $Y_t = v(t,X_t)$ 이고 $Z_t = \nabla_0 v(t,X_t)\sigma(t,X_t)$ 이다.
• BSDE 이론을 활용하여, 해 $v(t,x)$ 가 공간 $\mathbf{C}$ 에서의 비선형 타원형 편미분방정식 $\partial_t v + \mathcal{L}v = \psi(t,x,v,\nabla_0 v \sigma)$ 를 만족함을 보이며, 최종 조건 $v(T,x) = \phi(x)$ 를 갖는다.
• 제어 문제를 HJB 방정식과 연결하기 위해 해밀턴 함수 $\psi(t,x,z) = \inf_u \{ g(u) + z h(t,x,u) \}$ 를 정의한다.
• 기하 랜드의 정리(Girsanov's theorem)를 통해 위험 중립 측도를 도입하여 기억 효과가 있는 금융 모델에 이 프레임워크를 적용하고, 동역학을 새로운 측도 하에서 마틴갈레로 변환한다.
• 공정 가격과 헤지 전략이 유일하게 $V_0 = v(0,s)$ 와 $\pi_t = \nabla_0 v(t,S_{t+\cdot})$ 로 결정됨을 증명한다. 여기서 $v$ 는 HJB 방정식 $\partial_t v + \mathcal{L}v = r v$, $v(T,x) = \phi(x)$ 의 해이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지연이 있는 확률적 미분 방정식(SDDE)에 대한 최적 제어 문제는 후행 확률적 미분 방정식(BSDE)를 통해 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ2 경로 공간 위에서의 전진-후행 시스템의 해와 무한차원 설정에서의 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식의 해 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 기억 효과가 있는 금융 시장에서 BSDE 및 HJB 프레임워크를 통해 유가증권의 공정 가격과 헤지 전략을 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ4 연속 경로 공간 위에서 HJB 방정식의 미약한 해의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 이 프레임워크를 통해 고전적인 블랙-쇼스 방정식은 경로 의존적(기억) 효과를 포함하도록 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 최적 제어 문제의 가치 함수 $v(t,x)$ 는 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식 $\partial_t v + \mathcal{L}v = \psi(t,x,v,\nabla_0 v \sigma)$ 와 최종 조건 $v(T,x) = \phi(x)$ 를 만족하며, 여기서 $\psi$ 는 제어 행동에 대한 하한을 통해 정의된다.
• BSDE의 과정 $Z_t$ 는 $Z_t = \nabla_0 v(t,X_t)\sigma(t,X_t)$ 로 식별되며, 이는 현재 경로 $X_t$ 를 통해 제어를 피드백 법칙으로 표현할 수 있음을 보여준다.
• 유가증권 $\phi(S_{T+\cdot})$ 의 공정 가격은 위험 중립 측도 하에서 HJB 방정식 $\partial_t v + \mathcal{L}v = r v$, $v(T,x) = \phi(x)$ 의 해 $v$ 를 통해 $V_0 = v(0,s)$ 로 주어진다.
• 헤지 전략은 $\pi_t = \nabla_0 v(t,S_{t+\cdot})$ 로 특성화되며, 이는 기초 자산의 현재 경로에 대한 기능이다.
• 해 $v$ 는 HJB 방정식의 미약한 해임이 증명되어, 계수의 적절한 정규성 및 유계 조건 하에서 잘 정의됨이 보장된다.
• 이 프레임워크는 경로 의존적 동역학을 무한차원 상태 공간 $\mathbf{C}$ 에 통합함으로써 고전적인 블랙-쇼스 모델을 기억 효과를 포함하는 것으로 일반화한다.