[논문 리뷰] Stochastic equations with singular drift driven by fractional Brownian motion

Oleg Butkovsky, Khoa Lê외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 02. 23.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 새로운 스토하스틱 세잉 레마를 사용하여 분수 브라운 운동(fBm)에 의해 구동되는 특이 드리프트를 가진 확률미분방정식(SDE)에 대해 약한 존재성과 강한 잘 정의됨을 확립한다. 최적 조건을 증명한다: $L_p$ 드리프트의 경우 $\frac{d}{p} < \frac{1}{H} - 1$ 이고, 라돈 측도 드리프트의 경우 $H < \frac{1}{d+1}$ 이며, 최적성을 확인하기 위한 반례를 제시한다. 이는 Krylov-Röckner의 고전적 결과를 비마르코프 fBm 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We consider stochastic differential equation $$ d X_t=b(X_t) dt +d W_t^H, $$ where the drift $b$ is either a measure or an integrable function, and $W^H$ is a $d$-dimensional fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\in(0,1)$, $d\in\mathbb{N}$. For the case where $b\in L_p(\mathbb{R}^d)$, $p\in[1,\infty]$ we show weak existence of solutions to this equation under the condition $$ \frac{d}p&lt;\frac1H-1, $$ which is an extension of the Krylov-Röckner condition (2005) to the fractional case. We construct a counter-example showing optimality of this condition. If $b$ is a Radon measure, particularly the delta measure, we prove weak existence of solutions to this equation under the optimal condition $H&lt;\frac1{d+1}$. We also show strong well-posedness of solutions to this equation under certain conditions. To establish these results, we utilize the stochastic sewing technique and develop a new version of the stochastic sewing lemma.

연구 동기 및 목표

• 헤르스트 매개수 $H \in (0,1)$ 를 가진 분수 브라운 운동의 경우, 브라운 운동에 대한 Krylov-Röckner 조건을 확장한다.
• 드리프트 $b$ 가 $L_p(\mathbb{R}^d)$ 또는 유한한 부호 라돈 측도일 때, 최적 조건 하에서 해의 약한 존재성을 확립한다.
• 유도된 조건의 최적성을 반례를 통해 증명한다.
• 비-세미마르코프 노이즈 분석이 가능한, 더 완화된 모멘트 가정을 가진 새로운 스토하스틱 세잉 레마를 개발한다.
• 적절한 조건 하에서 1차원 경우의 강한 잘 정의됨을 확립한다.

제안 방법

• 저자들은 고차 모멘트 가정을 완화한 새로운 로젠탈 유형의 스토하스틱 세잉 레마를 도입하여, 비정규적인 fBm 경로의 분석이 가능하도록 한다.
• 스토하스틱 세잉 기법을 적용하여 특이 드리프트를 가진 SDE의 근사해 수렴을 제어한다.
• $L_p$ 드리프트의 경우, 모멘트 추정과 보간을 통해 조건 $\frac{d}{p} < \frac{1}{H} - 1$ 을 유도한다.
• 라돈 측도 드리프트의 경우, 국소 시간의 정규성과 매오링을 통한 근사화를 사용하여 적분 $\int b(X_t)dt$ 를 정의한다.
• $\frac{d}{p} \geq \frac{1}{H} - 1$ 를 만족하는 $L_p$ 내의 특이 드리프트를 사용하여 반례를 구성함으로써, 일부 $b \in L_p$ 에 대해 해가 존재하지 않음을 보여 최적성을 입증한다.
• 1차원에서의 강한 잘 정의됨 증명은 경로 유일성과 새로운 세잉 레마를 사용하여 드리프트의 비정규성을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 SDE의 해에 대한 약한 존재성을 위한 드리프트 $b$ 와 허스트 매개수 $H$ 의 최적 조건은 무엇인가?
• RQ2 브라운 운동에 대한 Krylov-Röckner 조건은 분수 브라운 운동의 경우로 확장될 수 있으며, 만약 그렇다면 어떤 형태로 확장될 수 있는가?
• RQ3 $L_p$ 드리프트에 대해 유도된 조건 $\frac{d}{p} < \frac{1}{H} - 1$ 이 최적인지, 반례를 통해 이를 증명할 수 있는가?
• RQ4 드리프트 $b$ 가 라돈 측도일 경우, 특히 딜라 함수 측도일 경우 약한 존재성을 위한 최적 조건은 무엇인가?
• RQ5 새로운 프레임워크 하에서 1차원 경우의 강한 잘 정의됨을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 조건 $\frac{d}{p} < \frac{1}{H} - 1$ 하에서 $b \in L_p(\mathbb{R}^d)$ 이면 해의 약한 존재성이 확립되며, 반례를 통해 최적임을 입증한다.
• 유한한 부호 라돈 측도인 $b$ 에 대해서는 최적 조건 $H < \frac{1}{d+1}$ 하에서 약한 존재성이 성립하며, 딜라 함수 측도의 경우도 포함된다.
• 조건 $\frac{d}{p} \geq \frac{1}{H} - 1$ 를 만족하는 $L_p$ 내의 특이 드리프트를 사용하여 반례를 구성함으로써, 일부 $b \in L_p$ 에 대해 해가 존재하지 않음을 보여 조건의 날카로움을 입증한다.
• 비-세미마르코프 노이즈(예: fBm)의 분석이 가능한, 더 완화된 모멘트 가정을 가진 새로운 스토하스틱 세잉 레마를 개발한다.
• 일부 조건 하에서 $d=1$ 에서 강한 잘 정의됨이 증명되었으며, 경로 유일성을 fBm 설정으로 확장한다.
• 부록으로, $Hd < 1$ 이면 $W^H$ 가 공동 연속적인 국소 시간을 가짐을 직접적으로 증명하며, fBm과 유계 변동 과정의 합에 대해 $H(d+1) < 1$ 으로 확장한다.