[논문 리뷰] Stochastic Exponential Integrators for a Finite Element Discretization of SPDEs

Gabriel J. Lord, Antoine Tambue|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 28.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 34인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한요소 분할을 통한 유한차원 반선형 포아송-스톰 방정식에 대한 추가 공간-시간 노이즈를 갖는 스토케스틱 지수 적분법을 제안한다. 노이즈의 선형 함수형과 Krylov 또는 Léja 방법을 통한 행렬 지수 계산을 활용하여, 표준 방법에 비해 더 높은 순서의 평균 제곱 $L^2$ 및 $H^1$ 노름에서 수렴성을 입증한다. 다공성 매질 내 선형 및 비선형 이동-확산-반응 문제에서 효율성과 정확성이 입증되었다.

ABSTRACT

We consider the numerical approximation of general semilinear parabolic stochastic partial differential equations (SPDEs) driven by additive space-time noise. In contrast to the standard time stepping methods which uses basic increments of the noise and the approximation of the exponential function by a rational fraction, we introduce a new scheme, designed for finite elements, finite volumes or finite differences space discretization, similar to the schemes in \cite{Jentzen3,Jentzen4} for spectral methods and \cite{GTambue} for finite element methods. We use the projection operator, the smoothing effect of the positive definite self-adjoint operator and linear functionals of the noise in Fourier space to obtain higher order approximations. We consider noise that is white in time and either in $H^1$ or $H^2$ in space and give convergence proofs in the mean square $L^{2}$ norm for a diffusion reaction equation and in mean square $ H^{1}$ norm in the presence of an advection term. For the exponential integrator we rely on computing the exponential of a non-diagonal matrix. In our numerical results we use two different efficient techniques: the real fast \Leja points and Krylov subspace techniques. We present results for a linear reaction diffusion equation in two dimensions as well as a nonlinear example of two-dimensional stochastic advection diffusion reaction equation motivated from realistic porous media flow.

연구 동기 및 목표

• 스토케스틱 포아송-스톰 방정식에 대해 추가 노이즈를 갖는 유한요소 공간 분할을 이용한 고차수 시간 스텝 스킴을 개발한다.
• 푸리에 공간에서 노이즈의 선형 함수형을 활용하여 표준 시간 적분기법의 순서 감소 장벽을 극복한다.
• Krylov 부분공간 및 Léja 점 기법을 이용해 비대각형 시스템에서의 행렬 지수 계산을 효율적으로 수행할 수 있도록 한다.
• 스펙트럼 방법을 넘어서서, 적응 가능한 공간 분할 기법인 유한요소 및 유한체적 방법에 대한 지수 적분법을 확장한다.
• 비균질 다공성 매질 내에서의 실제 스토케스틱 이동-확산-반응 방정식을 포함한 실제 SPDE에 대해 방법을 검증한다.

제안 방법

• 스킴은 반군 $S(t) = e^{tA}$ 를 포함하는 온전한 해법 공식을 사용하며, 시간 적분은 지수 적분기법의 사다리꼴 규칙을 활용한다.
• 표준 위너 증분을 피하기 위해, 높은 순서 정확도를 확보하기 위해 푸리에 공간에서 노이즈의 선형 함수형을 적용한다.
• 시간 이산화는 Krylov 부분공간 또는 실수 빠른 Léja 점 기법을 통해 계산된 연산자 $A_h$ 의 $\varphi$-함수 $\varphi_0, \varphi_1$ 를 사용한다.
• 공간 이산화에는 적합한 유한요소 또는 유한체적 방법을 사용하며, 투영을 통한 약한 Dirichlet 조건 적용을 수행한다.
• 비선형 항에 대해서는 $F(X)$ 를 반음성적으로 처리하며, $F$ 는 리프시츠 조건과 성장 조건을 만족한다.
• 스킴은 적응형 시간 스텝과 행렬 지수 평가에 대한 절대 오차 $10^{-6}$ 을 사용하여 구현된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토케스틱 지수 적분법은 추가 노이즈를 갖는 유한요소 분할을 통한 SPDE에 대해 시간 기준 고차수 수렴성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 노이즈의 선형 함수형 사용이 표준 오일러-마르야모 방법에 비해 수렴성에 어떻게 기여하는가?
• RQ3 유한요소 방법에서 발생하는 비대각형 연산자에 대해 행렬 지수 계산을 효율적으로 구현할 수 있는가?
• RQ4 비선형 SPDE에 대해 다공성 매질 내 이동 및 반응 항이 포함된 경우 스킴의 성능은 어떠한가?
• RQ5 저규칙성 초깃값과 $H^1$ 또는 $H^2$ 에서 거친 노이즈 조건 하에서도 방법이 안정성과 정확성을 유지하는가?

주요 결과

• 노이즈가 $H^2$-정규일 경우 $L^2$ 노름에서 평균 제곱 수렴성을 순서 $1/4$ 로 달성하며, 노이즈가 $H^1$-정규일 경우 $H^1$ 노름에서 순서 $1/4$ 로 수렴한다.
• 표준 반음성 오일러-마르야모 스킴과 동일한 시간 순서 수렴성을 보이지만, 지수 적분법(SETD1)은 더 높은 정확도를 보인다.
• 선형 반응-확산 방정식에서 노이즈가 없는 경우 정확한 해 복원이 이루어지며, 일致성 확인이 가능하다.
• 비균질 투과성 조건을 갖는 비선형 이동-확산-반응 문제에서, Péclet 수 $16.58$ 에서도 안정성과 수렴성이 유지된다.
• Léja 점 기법은 $\varphi_0$ 평가에서 Krylov 부분공간 기법 대비 약간의 효율성 향상을 보였다 (CPU 시간 기준).
• 수치 결과는 동질 및 비동질 매질 모두에서 시간 기준 수렴률이 $1/4$ 에 가까운 것을 확인하여 이론적 경계를 검증한다.