[논문 리뷰] Stochastic Hamiltonian flows with singular coefficients

Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ${\mathbb{R}}^{2d}$에서 특이 계수를 가진 확률적 해밀턴 시스템에 대해 강한 해의 존재성과 유일성을, 임계 정규성 조건 아래에 증명한다: $b \in H^{2/3,0}_{p}$ 및 $\nabla\sigma \in L^p$ ($p > 2(2d+1)$), $\sigma$는 유계이고 일관되게 비퇴화된다. 흐름이 확률적 호메오모르피즘임을 증명하고, 해 사상이 기울기의 모멘트 유계를 가지며 약한 미분 가능성을 보이며, Krylov–Röckner 유형 결과를 임계 미분 가능성 지수를 가진 퇴화된 운동학적 SDE에까지 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we study the following stochastic Hamiltonian system in ${\mathbb R}^{2d}$ (a second order stochastic differential equation), $$ d \dot X_t=b(X_t,\dot X_t)d t+σ(X_t,\dot X_t)d W_t,\ \ (X_0,\dot X_0)=(x,v)\in{\mathbb R}^{2d}, $$ where $b(x,v):{\mathbb R}^{2d} o{\mathbb R}^d$ and $σ(x,v):{\mathbb R}^{2d} o{\mathbb R}^d\otimes{\mathbb R}^d$ are two Borel measurable functions. We show that if $σ$ is bounded and uniformly non-degenerate, and $b\in H^{2/3,0}_p$ and $ ablaσ\in L^p$ for some $p>2(2d+1)$, where $H^{α,β}_p$ is the Bessel potential space with differentiability indices $α$ in $x$ and $β$ in $v$, then the above stochastic equation admits a unique strong solution so that $(x,v)\mapsto Z_t(x,v):=(X_t,\dot X_t)(x,v)$ forms a stochastic homeomorphism flow, and $(x,v)\mapsto Z_t(x,v)$ is weakly differentiable with ess.$\sup_{x,v}E\left(\sup_{t\in[0,T]}| abla Z_t(x,v)|^q ight)

연구 동기 및 목표

• 퇴화된 확률적 해밀턴 시스템에 대해 날카로운 계수를 가진 경우의 해의 강한 유일성과 정규성을 확립하기.
• Krylov–Röckner 유형 결과를 임계 미분 가능성 지수 $\alpha = \frac{2}{3}$ 및 $\beta = 0$를 가진 운동학적 SDE에까지 확장하기.
• 해 사상이 초기 조건에 대해 약한 미분 가능성을 가지며, 이에 따른 확률적 호메오모르피즘 흐름을 형성함을 보여주기.
• 초과수렴 원리(초과수렴 원리)를 통해, 날카로운 계수를 가진 운동학적 포켈-플랑크 방정식의 마틴갈 문제의 잘 정의성을 증명하기.

제안 방법

• 특이 계수를 고려할 때도 드리프트를 제어할 수 있도록 SDE를 정규화하기 위해 Zvonkin의 변환을 사용한다.
• 해와 그 기울기를 제어하기 위해 퇴화된 타원 방정식에 대한 Krylov의 사전 추정을 적용한다.
• 드리프트 $b$와 확산 $\sigma$의 정규성을 정량화하기 위해 베셀 포텐셜 공간 $H^{\alpha,\beta}_{p}$를 사용한다.
• 새로운 확률적 그론발르 유형 부등식을 통해 해 흐름의 기울기 모멘트 유계를 확립한다.
• 마틴갈 문제와 포켈-플랑크 방정식을 연결하기 위해 초과수렴 원리(Figalli, Trevisan)에 의존한다.
• 최대 함수 추정과 헬더 부등식을 사용하여 확률적 적분과 기울기 모멘트를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드리프트 $b$가 임계 정규성 조건 $H^{2/3,0}_{p}$를 만족하고 $\nabla\sigma \in L^p$일 때, 확률적 해밀턴 시스템에 강한 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 이 조건 하에서 해 사상 $(x,v) \mapsto Z_t(x,v)$는 확률적 호메오모르피즘 흐름을 형성하는가?
• RQ3 해 사상이 기울기 노름의 유한 모멘트를 가지며 약한 미분 가능성이 있는가?
• RQ4 날카로운 계수를 가진 운동학적 포켈-플랑크 연산자의 마틴갈 문제는 잘 정의되는가?
• RQ5 초과수렴 원리가 이 가정 하에서 운동학적 포켈-플랑크 방정식의 확률 측도 값 해의 유일성을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 제시된 $b$와 $\sigma$ 조건 하에서, 확률적 해밀턴 시스템은 유일한 강한 해를 갖는다.
• 해 사상 $Z_t(x,v)$는 ${\mathbb{R}}^{2d}$ 위에서 확률적 호메오모르피즘 흐름이다.
• 사상 $(x,v) \mapsto Z_t(x,v)$는 약한 미분 가능성이 있으며, 모든 $q \geq 1$ 및 $T \geq 0$에 대해 $\sup_{x,v} \mathbb{E}\left[\sup_{t\in[0,T]}|\nabla Z_t(x,v)|^q\right] < \infty$를 만족한다.
• 날카로운 계수를 가진 운동학적 포켈-플랑크 방정식은 마틴갈 문제와 초과수렴 원리를 통해 유일한 확률 측도 값 해를 갖는다.
• 해 $b$에 대한 임계 미분 가능성 지수 $\alpha = \frac{2}{3}$가 다루어졌으며, 이는 이전 결과에서 요구한 $\alpha > \frac{2}{3}$ 조건을 초월한다.
• 이 방법은 새로운 확률적 그론발르 부등식과 Zvonkin의 변환 및 Krylov 추정을 통한 기울기 추정에 기반한다.