[논문 리뷰] Stochastic Heat Equation with general noise

Yaozhong Hu, Xiong Wang|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 히어스트 매개수 $ H \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) $ 를 가진 거친 가우시안 노이즈에 의해 구동되는 1차원 비선형 확률적 열 방정식의 잘 정의됨을 확립한다. 이는 이전 연구에서 요구되었던 제한 조건인 $ \sigma(0) = 0 $ 을 제거한다. 저자들은 공간적으로 감쇠하는 가중치 $ \lambda(x) = c_H(1 + |x|^2)^{H-1} $ 를 도입하여, 비영인 $ \sigma(0) $ 를 수용할 수 있는 가중치 해석 공간 $ \mathcal{Z}_{\lambda,T}^p $ 를 구성하고, $ t, x \to \infty $ 일 때 해와 그 허더 계수의 정확한 점 渐진 성장률을 도출한다.

ABSTRACT

In this paper, we study a nonlinear one spatial dimensional stochastic heat equations driven by Gaussian noise: $\frac{\partial u }{\partial t}=\frac{\partial^2 u }{\partial x^2}+σ(u )\dot{W} $, where $\dot{W} $ is white in time and has the covariance of a fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\in(\frac 14,\frac 12)$. We remove a critical and unnatural condition $σ(0)=0$ previously imposed in a recent paper by Hu, Huang, Lê, Nualart and Tindel. The idea is to work on a weighted space $\mathcal{Z}_{λ,T}^p$ for some power decay weight $λ(x)=c_H(1+|x|^2)^{H-1}$. We obtain the weak existence of solution. With additional decay conditions on $σ$ we obtain the existence of strong solution and the pathwise uniqueness of the strong solution. The reason to introduce the weight function is that the solution $u(t,x)$ may explode as $|x| ightarrow \infty$ when the "diffusion coefficient" $σ(u)$ does not satisfy $σ(0)=0$ regardless of the initial condition. This motivates us to study the exact asympotics of the solution $u_{ m add}(t,x)$ as $t$ and $x$ go to infinity when $σ(u)=1$ and when the initial condition $u_0(x)\equiv 0$. In particular, we find the exact growth of $\sup_{|x|\leq L}{|u_{ m add}(t,x)|}$. Furthermore, we find the sharp growth rate for the Hölder coefficients, namely, $\sup_{|x|\leq L} \frac{| u_{ m add}(t,x+h)-u_{ m add}(t,x)|}{|h|^β}$ and $\sup_{|x|\leq L} \frac{| u_{ m add}(t+τ,x)-u_{ m add}(t,x)|}{τ^α}$. These results are interesting and fundamental themselves.

연구 동기 및 목표

• 기존 연구에서 핵심적으로 요구되었던 기술적 가정인 $ \sigma(0) = 0 $ 을 제거하는 것.
• 새로운 해석 공간을 구성하여 일반적인 비선형 확산 계수 $ \sigma $, 특히 $ \sigma(u) \equiv 1 $ 인 아핀 경우를 포함한 경우에도 적용 가능한 해석 프레임워크를 확장하는 것.
• 거시적 가중치 공간 $ \mathcal{Z}_{\lambda,T}^p $ 에서 해의 존재성과 경로별 유일성을 확립하는 것. 여기서 가중치는 $ \lambda(x) = c_H(1 + |x|^2)^{H-1} $ 이다.
• 해 $ u_{\text{add}}(t,x) $ 와 그 허더 계수의 정확한 점 渐진 성장률을 $ t, x \to \infty $ 일 때 유도하는 것. 이는 유계가 아닌 영역에서의 최댓값을 포함한다.
• 가감성 노이즈 하에서 $ \sup_{|x|\leq L} |u_{\text{add}}(t,x)| $ 와 공간 및 시간에서의 허더 노름에 대한 정밀한 성장 추정치를 제공하는 것.

제안 방법

• 해의 존재성을 위해 $ \mathcal{Z}_{T}^p $ 의 비가중치 공간을 대체할 수 있는 가중치 공간 $ \mathcal{Z}_{\lambda,T}^p $ 를 도입하며, 여기서 가중치는 $ \lambda(x) = c_H(1 + |x|^2)^{H-1} $ 이다. 이는 $ \sigma(0) \neq 0 $ 인 경우에도 해를 수용할 수 있도록 한다.
• 가중치가 부여된 열 커널 추정과 주요 측도 기법을 사용하여, 공간과 시간에서의 노이즈의 비규칙성을 제어한다.
• 해의 차이를 공간 증분과 노이즈의 구조에 따라 세 부분 $ J_1, J_2, J_3 $ 로 분해하며, 분수 노이즈의 자기 유사성과 공분산 구조를 활용한다.
• 해의 공간 및 시간 증분을 유계로 제어하기 위해 $ \sigma $ 와 그 도함수에 대한 허더 연속성 가정과 균일한 감쇠 조건을 적용한다.
• 해의 차이 제곱의 두 번째 모멘트인 $ I_1(t) $ 와 $ I_2(t) $ 를 포함하는 적분 부등식에 그론월의 부등식을 적용하여 경로별 유일성을 증명한다.
• 모멘트 추정과 감쇠 구조에 기반하여, 정리 1.5를 활용해 해의 허더 연속적 수정이 존재함을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 확률적 열 방정식의 잘 정의됨을 $ \sigma(0) = 0 $ 이라는 제한 조건 없이 확립할 수 있는가?
• RQ2 $ t \to \infty $ 와 $ x \to \infty $ 일 때 해 $ u_{\text{add}}(t,x) $ 의 정확한 점 渐진 행동은 어떠한가?
• RQ3 비유계 영역에서 공간 및 시간 허더 계수의 정밀한 성장률은 무엇인가?
• RQ4 $ \sigma(0) \neq 0 $ 인 경우, 비영인 초기값과 확산 계수를 수용할 수 있는 가중치 해석 공간 $ \mathcal{Z}_{\lambda,T}^p $ 는 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 $ t, x \to \infty $ 일 때 $ \sup_{|x|\leq L} |u_{\text{add}}(t,x)| $, $ \sup_{|x|\leq L} \frac{|u(t,x+h)-u(t,x)|}{|h|^\beta} $, $ \sup_{|x|\leq L} \frac{|u(t+\tau,x)-u(t,x)|}{\tau^\alpha} $ 의 정밀한 점 渐진 행동은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 $ \sigma(0) \neq 0 $ 인 경우에도 일반적인 $ \sigma $ 를 가진 확률적 열 방정식에 대해 강한 해의 존재성과 경로별 유일성을, 가중치 공간 $ \mathcal{Z}_{\lambda,T}^p $ 를 도입함으로써 확립한다. 여기서 $ \lambda(x) = c_H(1 + |x|^2)^{H-1} $ 이다.
• 가감성 노이즈의 경우 $ \sigma(u) \equiv 1 $ 일 때, $ t, x \to \infty $ 일 때 $ \sup_{|x|\leq L} |u_{\text{add}}(t,x)| $ 의 정확한 성장률을 도출하였으며, 이는 로그 보정 항을 제외하고 $ t^{H/2} $ 의 속도로 증가함을 보여준다.
• 공간 허더 계수 $ \sup_{|x|\leq L} \frac{|u(t,x+h)-u(t,x)|}{|h|^\beta} $ 의 정밀한 성장률은 $ t^{H/2} $ 이며, $ \beta = H $ 이므로 해는 거의 확실하게 공간에서 $ H $-허더 연속적임을 나타낸다.
• 시간 허더 계수 $ \sup_{|x|\leq L} \frac{|u(t+\tau,x)-u(t,x)|}{\tau^\alpha} $ 는 $ t^{H/2} $ 의 속도로 증가하며, $ \alpha = H/2 $ 이므로 해는 시간에서 $ H/2 $-허더 연속적임을 나타낸다.
• 해 $ u_{\text{add}}(t,x) $ 는 정확한 점 渐진 행동을 보이며, $ t \to \infty $ 일 때 $ \sup_{|x|\leq L} |u_{\text{add}}(t,x)| \sim t^{H/2} $ 이고, 허더 노름은 $ t^{H/2} $ 에 따라 척도가 조절된다.
• 기존의 기법이 [12]에서 붕괴되는 문제를 해결하기 위해 비가중치 공간을 가중치 공간으로 대체함으로써, 비아핀형 $ \sigma $ 와 $ \sigma(u) \equiv 1 $ 을 포함한 전반적인 비선형성 클래스에 대한 분석이 가능해졌다.