[논문 리뷰] Stochastic homogenization in amorphous media and applications to exclusion processes

Alessandra Faggionato|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 18.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 27인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 확률적 미세조직화를, 마킹된 포아송 점 프로세스와 같은 비정형 매질에서 범위가 무한한 점프를 갖는 확률적 보행에 적용하여 확장된 이중 척도 수렴 프레임워크를 사용해 수립한다. 이는 이러한 환경에서 대칭 단순 배제 과정의 유체역학적 극한을 증명하며, 비정질 고체에서의 몰트 변수 범위 터널링에 응용된다.

ABSTRACT

We consider random walks on marked simple point processes with symmetric jump rates and unbounded jump range. We prove homogenization properties of the associated Markov generators. As an application, we derive the hydrodynamic limit of the simple exclusion process given by multiple random walks as above, with hard-core interaction, on a marked Poisson point process. The above results cover Mott variable range hopping, which is a fundamental mechanism of phonon-induced electron conduction in amorphous solids as doped semiconductors. Our techniques, based on an extension of two-scale convergence, can be adapted to other models, as e.g. the random conductance model.

연구 동기 및 목표

• 마킹된 단순 점 프로세스에서 범위가 무한한 점프를 갖는 연속 시간 보행에 대한 미세조직화를 수립하기 위해.
• 격자 구조가 없는 비정형 매질로 이중 척도 수렴 기법을 확장하여 장거리 점프의 분석을 가능하게 하기 위해.
• 무작위 환경에서 대칭 단순 배제 과정의 유체역학적 극한을 도출하고, 몰트 변수 범위 터널링 포함하기 위해.
• 비정질 고체 및 장거리 상호작용을 갖는 기타 무작위 매질에 적용 가능한 엄밀한 수학적 프레임워크를 제공하기 위해.
• 팔름 측도와 에르고딕 이론을 통해 기존의 미세조직화 결과를 격자 기반, 비주기적, 에르고딕성과 유사하지 않은 구조로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 점 프로세스의 모든 점 쌍 간의 차이를 캡슐화하는 '비정형 기울기'를 도입하여 비정형 매질에 이중 척도 수렴을 적응시키기 위해.
• 공간적 거리와 점 에너지에 따라 변화하는 점프 비율을 갖는 마킹된 점 프로세스 위에서의 연속 시간 보행의 생성자를 기본 연산자로 사용하기 위해.
• 환경 공간에서 올바른 보정자 방정식의 해를 통해 효과적 확산 행렬 $ D $ 의 변분 특성화를 적용하기 위해.
• 확장된 이중 척도 수렴 프레임워크를 사용하여 스케일링된 해의 수렴이 행렬 $ D $ 를 갖는 결정론적 확산 방정식으로 수렴함을 증명하기 위해.
• 기저 점 프로세스의 에르고딕성과 정상성을 활용하여 (예: 포아송 또는 점 퍼콜레이션 기반) 법적 수렴을 보장하기 위해.
• 라크스-밀그램 정리와 기울기의 $ L^2 $ 유계성을 활용하여 해와 에너지 함수의 약한 수렴을 확립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 범위가 무한한 점프와 장거리 상호작용을 갖는 비정형 매질에서의 확률적 미세조직화를 확장할 수 있는가?
• RQ2 마킹된 점 프로세스에서의 배제 과정의 유체역학적 극한에서 효과적 확산 행렬은 어떻게 도출되는가?
• RQ3 이중 척도 수렴을 격자 기반, 비주기적 무작위 매질에 대해 무한 범위의 점프를 갖는 경우에 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 환경의 에르고딕성과 정상성이 결정론적 확산으로의 수렴을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 스케일링된 과정의 에너지 및 기울기 함수는 미세조직화 극한에서 어떻게 수렴하는가?

주요 결과

• 스케일링된 보행 생성자 $ \frac{1}{\rho} \tilde{\rho} \to \nabla \tilde{D} \nabla $, 여기서 $ \tilde{D} $ 는 변분 공식으로 유도된 효과적 확산 행렬이다.
• 스케일링된 파oisson 방정식 $ \rho u_\rho - \tilde{L}_\rho u_\rho = f_\rho $ 의 해 $ u_\rho $ 는 약한 수렴을 통해 효과적 방정식 $ \rho u - \nabla D \nabla u = f $ 의 해 $ u $ 로 수렴한다.
• 스케일링된 과정의 기울기와 에너지는 $ L^2 $-의미에서 그 미세조직화된 대응항으로 수렴하며, 반응기의 수렴이 함께 이루어진다.
• 마킹된 포아송 점 프로세스에서 대칭 단순 배제 과정의 유체역학적 극한은 에르고딕성과 정상성의 가정 하에 행렬 $ D $ 를 갖는 결정론적 확산이 된다.
• 효과적 확산 행렬 $ D $ 는 환경 공간에서의 보정자 방정식을 통해 특성화되며, $ \nabla u = 0 \ \nu\text{-a.s.} $ 라면 $ D $ 는 잘 정의되고 대칭적임을 보여준다.
• 이 방법은 몰트 v.r.h. 이외의 모델, 예를 들어 무작위 도전도 모델과 데라운이 삼각분할에까지도 적용 가능하며, 그 일반적인 구조 덕분이다.