[논문 리뷰] Stochastic k-Server Problem: How Should Uber Work?

Sina Dehghani, Soheil Ehsani외 3명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 16.

Optimization and Search Problems인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 알려진 확률 분포에서 요청이 추출되는 스토하스틱 k-서버 문제를 소개하며, 일반 메트릭스에서 3-근사 보장을 갖는 비적응형 온라인 알고리즘 클래스를 제안한다. 이 클래스 내에서 최적 해를 위한 정수계획법을 제시하고, O(log n) 근사 보장을 갖는 라운딩 기반 알고리즘을 제안하며, 일반 메트릭스에서 3-근사 보장을 갖는 선형 및 원형 메트릭스에서의 성능을 확장한다. 또한 요청 간 상관관계를 고려한 스토하스틱 우버 문제로 확장하여, k-서버 해의 a-근사 보장에서 (a+2)-근사 보장으로 향상된 성능을 달성한다.

ABSTRACT

In this paper, we study a stochastic variant of the celebrated k-server problem. In the k-server problem, we are required to minimize the total movement of k servers that are serving an online sequence of t requests in a metric. In the stochastic setting we are given t independent distributions in advance, and at every time step i a request is drawn from Pi. Designing the optimal online algorithm in such setting is NP-hard, therefore the emphasis of our work is on designing an approximately optimal online algorithm. We first show a structural characterization for a certain class of non-adaptive online algorithms. We prove that in general metrics, the best of such algorithms has a cost of no worse than three times that of the optimal online algorithm. Next, we present an integer program that finds the optimal algorithm of this class for any arbitrary metric. Finally, by rounding the solution of the linear relaxation of this program, we present an online algorithm for the stochastic k-server problem with the approximation factor of 3 in the line and circle metrics and O(log n) in a general metric of size n. Moreover, we define the Uber problem, in which each demand consists of two endpoints, a source and a destination. We show that given an a-approximation algorithm for the k-server problem, we can obtain an (a+2)-approximation algorithm for the Uber problem. Motivated by the fact that demands are usually highly correlated with the time we study the stochastic Uber problem. Furthermore, we extend our results to the correlated setting where the probability of a request arriving at a certain point depends not only on the time step but also on the previously arrived requests.

연구 동기 및 목표

• 요청이 시간에 따라 알려진 분포에서 추출되는 스토하스틱 k-서버 문제에 대해 약간의 최적 온라인 알고리즘을 설계하는 것.
• 비적응형 온라인 알고리즘의 클래스를 특성화하고, 최적 온라인 알고리즘 대비 성능 한계를 설정하는 것.
• 주어진 메트릭스 공간에서 이 클래스 내 최적 알고리즘을 찾기 위한 정수계획법 포지셔닝을 개발하는 것.
• 각 요청이 출발지와 도착지를 갖는 스토하스틱 우버 문제로 프레임워크를 확장하고, 시간에 따른 상관관계 있는 요청 분포를 분석하는 것.

제안 방법

• 스토하스틱 k-서버 문제에서 비적응형 온라인 알고리즘의 구조적 특성화를 도입한다.
• 일반 메트릭스에서 최적 온라인 알고리즘의 비용의 최대 3배 이내로 비용을 보장하는 최적 비적응형 알고리즘이 존재함을 증명한다.
• 주어진 메트릭스 공간에서 최적 비적응형 알고리즘을 계산하기 위한 정수계획법을 제시한다.
• 라운딩 기반 온라인 알고리즘을 설계하여 일반 메트릭스에서 O(log n) 근사 보장, 선형 및 원형 메트릭스에서 3-근사 보장을 달성한다.
• 우버 문제를 k-서버 문제의 두 점 요청 변형으로 정의하고, k-서버 문제에서 a-근사 보장이 가능한 알고리즘이 우버 문제에서 (a+2)-근사 보장으로 이어짐을 보여준다.
• 요청 확률이 시간과 이전 요청에 모두 의존하는 상관관계 있는 요청 분포로 모델을 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 메트릭스에서 스토하스틱 k-서버 문제의 최적 비적응형 온라인 알고리즘의 성능 보장은 무엇인가요?
• RQ2 어떤 메트릭스 공간에서나 최적 비적응형 알고리즘을 찾기 위한 정수계획법을 제작할 수 있나요?
• RQ3 라운딩 기반 온라인 알고리즘이 일반, 선형, 원형 메트릭스에서 스토하스틱 k-서버 문제에서 달성할 수 있는 근사 요인은 무엇인가요?
• RQ4 k-서버 문제에서의 근사 비율은 출발지-도착지 요청을 갖는 우버 문제로 어떻게 확장되나요?
• RQ5 스토하스틱 우버 문제에서 시간적 및 이력적 상관관계는 요청 분포에 어떤 영향을 미치나요?

주요 결과

• 최적 비적응형 온라인 알고리즘은 어떤 일반 메트릭스에서나 최적 온라인 알고리즘의 비용의 3배 이내로 비용을 보장한다.
• 주어진 메트릭스 공간에서 최적 비적응형 알고리즘을 찾는 데 사용할 수 있는 정수계획법이 제시된다.
• 라운딩 기반 온라인 알고리즘은 선형 및 원형 메트릭스에서 3-근사 보장을 달성하고, 크기가 n인 일반 메트릭스에서는 O(log n)-근사 보장을 달성한다.
• k-서버 문제에서 a-근사 보장이 가능한 알고리즘이 존재할 경우, 우버 문제에서 (a+2)-근사 보장이 가능한 알고리즘을 구성할 수 있다.
• 요청 확률이 시간과 이전 요청에 모두 의존하는 상관관계 있는 요청 분포를 다룰 수 있도록 프레임워크가 확장되었다.