[논문 리뷰] Stochastic Lagrangian Flows for SDEs with rough coefficients

Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 13.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 32인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비퇴화 확산과 뚜렷하지 않은 계수를 가진 다차원 SDE에 대해 Stochastic Lagrangian Flows (SLFs)와 거의 모든 곳에서의 Stochastic Flows (AESFs)의 존재성과 유일성을 확립한다. 이는 DiPerna-Lions 이론을 확률적 설정으로 확장한 것으로, 약한 적분 가능성 조건과 소볼레프 정규성 조건 하에서 이러한 플로우의 존재를 증명하고, 3D 나비에-스토크스 방정식에 가우시안 노이즈가 첨가된 레일리-호프 해에 대응하는 유일한 확률적 플로우의 존재를 보여주는 데 응용한다.

ABSTRACT

We prove the existence and uniqueness of Stochastic Lagrangian Flows and almost everywhere Stochastic Flows for non-degenearted SDEs with rough coefficients. As an application of our main result, we show that there exists a unique Stochastic Flow corresponding to each Leray-Hopf solution of 3D Navier-Stokes equation in the DiPerna-Lions sense.

연구 동기 및 목표

• 비정규 계수를 가진 SDE에 대해 DiPerna-Lions의 정규 Lagrangian 플로우 이론을 확률적 설정으로 확장한다.
• 매우 특이한 비드라이프에 대해 마틴게일 해 프레임워크에서 약한 유일성의 실패를 다루며, 반례를 제시한다.
• 비퇴화 확산과 계수에 대한 최소한의 정규성 가정 하에서 Stochastic Lagrangian Flows (SLFs)와 거의 모든 곳에서의 Stochastic Flows (AESFs)의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 이 이론을 활용하여 3D 나비에-스토크스 방정식에 대해 가우시안 노이즈가 첨가된 각 레일리-호프 해에 대해 유일한 확률적 플로우를 구성한다.
• 저조도 정규성 조건을 초월하는 낮은 정규성 SDE를 다루기 위해 Fokker-Planck 방정식과 De Giorgi의 반복 기법을 기반으로 한 새로운 이론적 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 해의 존재성과 유일성을 분석하기 위해 $L^∞$-설정에서 Fokker-Planck 방정식을 사용한다.
• 해의 측도 밀도에 대한 사전 추정치를 유도하기 위해 De Giorgi의 반복 기법을 적용한다.
• 비드라이프 $b$와 확산 $σ$에 대해 약한 적분 가능성 조건을 도입하며, $b, (\operatorname{div} b)^- \in L^q_t L^p_x$ 이고 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 2$ 를 만족시키며, 비퇴화 확산을 가정한다.
• 마틴게일 조건과 밀도 유계성 조건을 만족하는 확률 측도의 가족 $\{\mathbb{P}_x\}_{x \in \mathbb{R}^d}$ 로서 Stochastic Lagrangian Flows (SLFs)의 개념을 도입한다.
• 초기 조건에 거의 확률적으로 강한 해를 갖는 랜덤 필드 $X: [0,T] \times \mathbb{R}^d \times \Omega \to \mathbb{R}^d$ 를 구성함으로써, 거의 모든 곳에서의 Stochastic Flow (AESF) 의 존재성을 확립한다.
• Girsanov의 변환과 경로 유일성 논증을 활용하여 Fokker-Planck 방정식과 SDE를 연결하고 플로우 존재성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정규 계수와 비퇴화 확산을 가진 SDE에 대해 Stochastic Lagrangian Flow 가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비퇴화 조건 하에서 $b, (\operatorname{div} b)^- \in L^q_t L^p_x$ 이고 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 2$ 를 만족하는 비드라이프에 대해 약한 유일성이 실패할 수 있는가?
• RQ3 SDE가 고전적 약한 또는 강한 해로서 잘 정의되어 있지 않을 때, 거의 모든 곳에서의 유일한 확률적 플로우를 구성하는 것이 가능한가?
• RQ4 SLFs와 AESFs 이론은 3D 나비에-스토크스 방정식의 해에 대해 확률적 플로우를 구성하는 데 응용될 수 있는가?
• RQ5 De Giorgi의 반복과 Fokker-Planck 방정식 분석은 낮은 정규성 조건 하에서 확률적 플로우의 존재성과 유일성 증명에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 논문은 비퇴화 확산과 계수 $b, (\operatorname{div} b)^- \in L^q_t L^p_x$ 를 만족하며 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 2$ 인 SDE에 대해 Stochastic Lagrangian Flows (SLFs)의 존재성과 유일성을 증명하며, 이는 DiPerna-Lions 이론을 확률적 설정으로 확장한 것이다.
• 반례를 구성함으로써, 위의 적분 가능성 조건 하에서도 약한 유일성이 실패할 수 있음을 보여주며, 이러한 특이한 비드라이프에 대해 고전적 마틴게일 문제 프레임워크의 무효성을 입증한다.
• 계수 $b$와 $\sigma$ 에 추가적인 소볼레프 정규성 가정을 두면, 거의 모든 곳에서의 Stochastic Flows (AESFs) 의 존재성과 유일성이 확립되며, 이는 거의 모든 초기 조건에 대해 강한 해를 보장한다.
• 모든 레일리-호프 해 $b$ 에 대해 3D 나비에-스토크스 방정식에 $\sigma = \sqrt{2} \mathbb{I}_{3 \times 3}$ 이면, 유일한 확률적 플로우가 존재하며, 이는 해의 확률적 표현을 제공한다.
• 증명은 해의 측도 밀도를 제어하기 위해 De Giorgi의 반복 기법에 의존하며, 유한한 영역을 빠져나가는 양의 확률을 보장하기 위해 히트 타임의 수열과 정지 시간 논증을 사용하여 폭발 방지 및 재진입 성질을 확보한다.