[논문 리뷰] Stochastic Maximum Principle for a PDEs with noise and control on the boundary

Giuseppina Guatteri|arXiv (Cornell University)|2008. 07. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 경계에서 소음과 제어가 작용하는 확률적 편미분방정식(SPDEs)에 대해, 이중 근사가 필요 없는 새로운 접근을 통해 확률적 최대원리(stochastic maximum principle)를 수립한다. 이는 고유방정식의 정칙성에 기반한다. 주요 기여는 비볼록 제어 공간을 가진 경계 제어 SPDEs에 대해, 분수계수 정칙성 조건과 $\varepsilon^{\alpha}$ 수렴 속도($\frac{1}{2} < \alpha < 1$) 하에 유효한 필요 최적성 조건을 제시하는 것이다. 이 틀은 가중 $L^2$ 공간과 리솔베ント 이론에서 유도된 유계가 아닌 연산자를 통해 노이만 및 딜레르흐 경계 조건에 모두 적용 가능하다.

ABSTRACT

In this paper we prove necessary conditions for optimality of a stochastic control problem for a class of stochastic partial differential equations that is controlled through the boundary. This kind of problems can be interpreted as a stochastic control problem for an evolution system in an Hilbert space. The regularity of the solution of the adjoint equation, that is a backward stochastic equation in infinite dimension, plays a crucial role in the formulation of the maximum principle.

연구 동기 및 목표

• 소음과 제어가 공간에 분포하는 것보다 덜 연구된 바 있는 경계에 국한된 경우에 대해, SPDEs에 대한 확률적 최대원리를 개발한다.
• 일般적으로 이중 근사가 필요로 하는 비볼록 제어 공간의 과제를 해결하기 위해, $\varepsilon^{\alpha}$ 수렴 속도를 갖는 일차 최적성 조건을 증명함으로써, 이중 근사 없이도 최적성 조건을 도출한다.
• 경계 제어에서 유도된 비유계 연산자의 형식적 고유연산자의 도메인에 속하는 고유방정식의 정칙성을 확립함으로써 최대원리의 제작을 가능하게 한다.
• 가중 $L^2$ 공간 프레임워크를 도입하여, 딜레르흐 경계 조건을 갖는 SPDEs로 최대원리를 확장한다.
• 이론적 프레임워크의 적용 가능성을 보여주기 위해, 두 가지 구체적 예시—노이만 및 딜레르흐 경계 제어 문제—를 제시한다.

제안 방법

• 라플라스 연산자의 생성자 $A$와 적절한 경계 조건을 갖는 힐버트 공간 $H = L^2(0,1)$ 또는 $L^2(0,\infty; (\rho^{\theta+1} \wedge 1)\,d\rho)$ 내에서 SPDE를 무한차원 확률적 진화방정식으로 공식화한다.
• 비유계 연산자 $(\lambda - A)D$ 및 $(\lambda - A)D_1$을 도입하여 경계 제어 및 소음 항을 표현하며, $D$ 및 $D_1$이 $\lambda - A$의 분수계수 거듭제곱의 도메인으로 제어 및 유클리드 프로세스를 사영함으로써 온화한 해의 존재를 보장한다.
• 리솔베ント 이론과 노이만 또는 딜레르흐 고유값 문제의 해 $d^i(x)$의 존재를 이용하여 경계 연산자 $D$ 및 $D_1$을 정의함으로써, 비유계 항목에 필요한 정칙성을 확보한다.
• 고유방정식을 무한차원 힐버트 공간 $H$ 내의 역행 확률미분방정식으로 유도하며, 그 해가 $[(\lambda - A)D]^*$의 도메인에 속한다는 것을 증명함으로써 최대원리에 필수적인 조건을 확보한다.
• 비용 기능의 일차 변동을 분석함으로써 최대원리를 확립하며, $\alpha > \frac{1}{2}$ 조건 하에 $\varepsilon^{\alpha}$ 순서 근사에서 이중 항을 피하는 조건에서 해밀토니안 조건이 성립함을 보인다.
• 두 가지 예제에서 최대원리의 조건을 검증한다: 하나는 유계 영역에서의 노이만 경계 조건이고, 다른 하나는 무한 영역에서의 딜레르흐 조건이며, 연산자의 정칙성을 보장하기 위해 가중 $L^2$ 공간을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소음과 제어가 공간에 분포하는 것이 아니라 경계에 국한된 경우에 대해, SPDEs에 대한 확률적 최대원리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 제어 공간이 비볼록인 경우, 일반적으로 이중 근사가 필요로 하는 상황에서 최대원리를 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 비유계 경계 연산자가 존재하는 상황에서 최대원리의 타당성을 보장하기 위해 고유방정식에 요구되는 정칙성 조건은 무엇인가?
• RQ4 표준 $L^2$ 공간이 필요한 연산자 정칙성을 지원하지 못하는 상황에서, 경계 소음과 제어를 어떻게 힐버트 공간 프레임워크에 통합할 수 있는가?
• RQ5 특히 반구형 이론 및 진화방정식 설정에서 어려움을 야기하는 것으로 알려진 딜레르흐 경계 조건으로의 프레임워크 확장은 어느 정도까지 가능한가?

주요 결과

• 논문은 비볼록 제어 공간을 가진 경계 제어 SPDEs에 대해, $\frac{1}{2} < \alpha < 1$ 조건 하에 $\varepsilon^{\alpha}$ 수렴 속도를 갖는 일차 최적성 조건을 증명함으로써, 확률적 최대원리를 수립한다.
• 고유방정식의 해가 $[(\lambda - A)D]^*$의 도메인에 속한다는 것이 입증되었으며, 이는 해밀토니안 공식화에 필수적이며 최대원리의 타당성을 보장한다.
• 구간 $[0,1]$에서의 노이만 경계 조건에 대해, 고유값 문제를 해결하는 $d^i \in H^{2\alpha}(0,1)$의 존재는 경계 연산자의 필요 정칙성을 보장한다.
• $[0,\infty)$에서의 딜레르흐 조건에 대해, 가중 $L^2$ 공간 $L^2(0,\infty; (\rho^{\theta+1} \wedge 1)\,d\rho)$의 사용은 딜레르흐 사상이 $D((\lambda - A)^\alpha)$에 값을 갖도록 하며, 이는 진화방정식의 공식화를 가능하게 한다.
• 비용 기능은 두 예제 모두에서 잘 정의되어 있으며, 필요한 미분 가능성 및 성장 조건을 충족한다. $l$ 및 $h$는 유계 또는 선형 이하 성장하는 도함수를 갖는다.
• 이론적 결과는 두 가지 실제 예제를 통해 검증되었으며, 하나는 공간-시간 백색소음이 있는 노이만 경계 제어 문제이고, 다른 하나는 경계 위너 프로세스가 있는 딜레르흐 경계 제어 문제이다. 두 경우 모두 주요 정리의 가정 조건이 충족됨을 보여준다.