[논문 리뷰] (Stochastic) Model Predictive Control -- a Simulation Example

Tim Brüdigam|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 28.

Advanced Control Systems Optimization인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 가우시안 불확실성이 있는 선형 시스템을 대상으로 확률적 모델 예측 제어(SMPC)의 시뮬레이션 기반 소개를 제시한다. 경계 조건을 확률적 강화를 통해 오차 공분산과 역에러 함수를 이용해 확률적 경계 조건으로 재구성함으로써 경계 조건을 딱딱하게 유지하는 방식을 개선한다. 이 방법은 사전에 정의된 확률 수준 β로 제약 조건을 충족시키며, MATLAB 기반의 예제를 통해 명시적인 유도와 코드 공개를 통해 검증된다.

ABSTRACT

This brief introduction to Model Predictive Control specifically addresses stochastic Model Predictive Control, where probabilistic constraints are considered. A simple linear system subject to uncertainty serves as an example. The Matlab code for this stochastic Model Predictive Control example is available online.

연구 동기 및 목표

• 지정된 확률로 상태 제약 조건을 충족시키면서 확률적 외란이 존재하는 선형 시스템을 제어하는 데 도전 과제를 해결한다.
• 예측 기반 SMPC 환경에서 확률적 경계 조건을 갖는 실용적 프레임워크를 구현하기 위한 방법을 소개한다.
• 정규 분포 및 일반 분포에 대해 오차 공분산과 확률적 경계를 기반으로 한 제약 조건 강화의 유도 및 구현을 제공한다.
• MATLAB 코드를 포함한 구체적인 예제를 통해 제약 위반 위험과 제어 성능 사이의 트레이드오프를 시연한다.
• 예측 기반 SMPC에서 불확실성 공분산(Σw)과 오차 공분산(Σe_k)의 차이를 명확히 한다.

제안 방법

• 선형 시스템 모델 xk+1 = Axk + Buk을 사용하여 상태 및 입력 제약 조건을 갖는 결정론적 MPC 문제를 수립한다.
• 평균이 0인 가우시안 프로세스 노이즈 wk ∼ N(0, Σw)를 시스템 동역학에 도입하여 xk+1 = Axk + Buk + Dwk로 변형한다.
• 경계 조건 x1,k ≤ 2.8을 확률적 경계 조건 Pr(x1,k ≤ 2.8) ≥ β로 재구성하며, 역에러 함수를 사용한다: γk = √(2[1,0]ᵀΣe_k[1,0]) ⋅ erf⁻¹(2β − 1).
• 상태를 결정론적 성분과 확률적 성분으로 분해한다: xk = zk + ek, 그리고 입력을 uk = −Kxk + vk로 재정의하여 피드백 제어와 불확실성 처리를 분리한다.
• 오차 공분산 행렬을 Σe_k+1 = (A − BK)Σe_k(A − BK)ᵀ + DΣwDᵀ를 통해 반복적으로 전파하며, 초기 조건 Σe_0 = diag(0,0)에서 시작한다.
• 원래의 제약 조건 x1,k ≤ 2.8을 x1,k ≤ 2.8 − γk로 대체하여 제약 조건 강화를 적용한다. 여기서 γk는 β와 예측된 오차 분산에 따라 결정된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률적 외란이 존재하는 상황에서 딱딱한 상태 제약 조건을 어떻게 확률적 위반을 允許하는 방식으로 재구성할 수 있는가?
• RQ2 가우시안 불확실성 하에서 위험 매개변수 β와 필요한 제약 조건 강화량 γk 사이의 분석적 관계는 무엇인가?
• RQ3 SMPC에서 오차 공분산 Σe_k는 예측 단계에 따라 어떻게 변화하며, 제약 조건 강화에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 정규 분포와 일반 확률 분포를 사용한 SMPC 간의 성능 차이는 어떤가? 특히 보수성 측면에서 비교한다.
• RQ5 위험 매개변수 β의 선택은 제약 위반 확률과 제어 노력 사이의 트레이드오프에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 확률적 경계 조건 Pr(x1,k ≤ 2.8) ≥ β는 x1,k ≤ 2.8 − γk로 재구성되며, 여기서 γk = √(2[1,0]ᵀΣe_k[1,0]) ⋅ erf⁻¹(2β − 1)로 표현되어, SMPC의 실현 가능성을 보장한다.
• 정규 분포 불확실성 하에서는 역에러 함수를 사용하여 제약 조건 강화량 γk를 정확하게 유도할 수 있으며, 가우시안 가정 하에서 정확한 재구성 가능하다.
• 일반 확률 분포의 경우 캔텔리의 부등식을 사용하여 근사적으로 제약 조건 강화를 수행하며, γk = σ ⋅ √(β / (1 − β))로 표현된다. 이는 가우시안 경우보다 더 보수적인 결과를 낳는다.
• 제약 조건 강화 매개변수 γk는 예측 수준이 증가할수록 증가하며, 시간이 지남에 따라 누적되는 불확실성 반영을 위해 각 예측 단계에서 별도로 계산되어야 한다.
• 오차 공분산 행렬 Σe_k는 반복적으로 전파되며, 닫힌 루프 동역학 (A − BK)과 프로세스 노이즈 공분산 Σw에 의존하며, 초기 상태에 영향을 받지 않는다.
• 시뮬레이션 예제는 SMPC가 확률적 경계 조건을 갖는 경우, 확률 β로 제약 조건을 충족시키며, 과도하게 보수적인 제어 행동을 피할 수 있음을 확인한다.