[논문 리뷰] Stochastic Modeling of an Infectious Disease, Part I: Understand the Negative Binomial Distribution and Predict an Epidemic More Reliably
이 논문은 전염병 확산을 더 잘 예측하기 위해 이민을 고려한 확률적 출생·사망 과정(BDI) 모델을 제안한다. 이 모델은 r < 1인 음이항분포(NBD)가 실제로 발생하는 대규모 유행병, 예를 들어 코로나19와 같은 상황에서 관찰되는 무거운 尾, 높은 변동성을 잘 묘사함을 보여준다. 주요 기여는 결정론적 SIR 모델이 변동성을 과소평가함으로써 실패한다는 점을 입증한 것으로, NBD의 분산계수(CV)가 r⁻¹ > 1를 초과하여 중앙값과 평균 예측이 신뢰할 수 없게 된다는 것이다.
Why are the epidemic patterns of COVID-19 so different among different cities or countries which are similar in their populations, medical infrastructures, and people's behavior? Why are forecasts or predictions made by so-called experts often grossly wrong, concerning the numbers of people who get infected or die? The purpose of this study is to better understand the stochastic nature of an epidemic disease, and answer the above questions. Much of the work on infectious diseases has been based on "SIR deterministic models," (Kermack and McKendrick:1927.) We will explore stochastic models that can capture the essence of the seemingly erratic behavior of an infectious disease. A stochastic model, in its formulation, takes into account the random nature of an infectious disease. The stochastic model we study here is based on the "birth-and-death process with immigration" (BDI for short), which was proposed in the study of population growth or extinction of some biological species. The BDI process model ,however, has not been investigated by the epidemiology community. The BDI process is one of a few birth-and-death processes, which we can solve analytically. Its time-dependent probability distribution function is a "negative binomial distribution" with its parameter $r$ less than $1$. The "coefficient of variation" of the process is larger than $\sqrt{1/r} > 1$. Furthermore, it has a long tail like the zeta distribution. These properties explain why infection patterns exhibit enormously large variations. The number of infected predicted by a deterministic model is much greater than the median of the distribution. This explains why any forecast based on a deterministic model will fail more often than not.
연구 동기 및 목표
- 결정론적 SIR 모델이 전염병 확산 예측에서 가지는 한계를 해결하기 위해, 특히 실제 데이터에서 관찰되는 높은 변동성을 반영하지 못하는 문제를 다루기 위한 것이다.
- 유사한 인구 규모와 행동 패턴을 가진 도시나 국가 간에 유행 패턴이 상당히 다름에도 불구하고 그 이유를 규명하기 위한 것이다.
- 내재된 무작위성에 기반한 BDI 과정에 기반한 확률 모델이 결정론적 모델보다 더 신뢰할 수 있는 예측을 제공함을 보여주기 위한 것이다.
- BDI 과정의 해석적 해법을 확립하고, 시간에 따라 변하는 확률 분포가 r < 1인 일반화된 음이항분포(NBD)를 따른다는 것을 보여주기 위한 것이다.
- NBD의 성질, 예를 들어 장꼬리 분포와 높은 분산계수를 통해 실제 유행병 데이터에서 극단적인 변동성이 발생하는 통계적 근본 원인을 설명하기 위한 것이다.
제안 방법
- 시간에 따라 변하는 비율을 가진 확률적 사건으로 감염과 회복을 모델링하는 이민을 포함한 출생·사망 과정(BDI) 기반의 확률 모델을 수립한다.
- 부분 미분 방정식(PDE) 접근을 통해 감염자 수 I(t)의 확률 생성 함수(PGF)를 유도하고, 특성선 방법을 통해 이를 해석한다.
- I(t)의 시간에 따른 분포가 일반화된 음이항분포(NBD)임을 보이며, PGF는 BDI 과정에 대한 항과 이민 없이 출생·사망 과정에 대한 항의 곱으로 표현된다.
- BDI 과정의 정적인 상태 및 일시적 거동를 분석하며, 특히 I(0) = 0인 경우에 대해 PGF의 폐쇄형 해를 유도한다.
- PGF를 사용해 모멘트(평균, 분산)를 계산하고 분산계수(CV)를 유도하며, r < 1일 경우 CV > r⁻¹ > 1임을 보여준다.
- 작은 r을 가진 NBD는 장꼬리 분포를 보이며, 지프의 법칙과 유사한 형태를 띠며, 결정론적 모델이 간과하는 극단적인 감염자 수의 발생을 설명한다.
실험 결과
연구 질문
- RQ1코로나19와 같은 질병의 유행 패턴이 지리적·행동적으로 유사한 지역 간에 왜 이렇게 다양하게 나타나는가?
- RQ2왜 결정론적 SIR 모델의 예측은 관측된 감염자 수, 특히 극단적인 결과에 대해 일관되게 실패하는가?
- RQ3BDI 과정에 기반한 확률 모델이 결정론적 모델보다 실제 유행병 데이터의 장꼬리, 높은 변동성을 더 잘 묘사할 수 있는가?
- RQ4이민을 포함한 확률적 유행 모델에서 감염자 수의 시간에 따라 변하는 확률 분포의 해석적 형태는 무엇인가?
- RQ5r < 1인 음이항분포의 분산계수가 유행 예측의 신뢰도와 어떻게 관련되어 있는가?
주요 결과
- BDI 모델에서 감염자 수 I(t)의 시간에 따른 분포는 일반화된 음이항분포(NBD)를 따르며, 임의의 초기 조건에 대해 폐쇄형으로 유도된 PGF를 가진다.
- I(0) = 0일 경우 PGF는 G(z,t) = [a / (λe^{at} - μ - λ(e^{at} - 1)z)]^r로 단순화되며, 여기서 a = λ - μ로 주어지며, 분석적으로 다룰 수 있는 해를 제공한다.
- r < 1인 NBD의 분산계수(CV)는 r⁻¹ > 1를 초과하여 분포의 높은 변동성을 나타내며, 이는 실제 유행병에서 관찰되는 큰 이격 현상을 설명한다.
- 작은 r을 가진 NBD는 지수 분포와 유사한 장꼬리 분포를 보이며, 지프의 법칙과 유사한 형태를 띠며, 결정론적 모델이 간과하는 극단적인 감염자 수의 발생을 설명한다.
- 결정론적 모델이 예측하는 평균은 진정한 확률적 분포의 중앙값과 크게 다름을 보이며, 이는 결정론적 예측이 체계적으로 신뢰할 수 없음을 설명한다.
- BDI 과정는 이민을 포함한 출생·사망 과정 중에서 해석적 해를 가질 수 있는 소수의 모델 중 하나이며, 이는 확률적 유행 동역학 모델링에 강력한 도구로 기능한다.
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