[논문 리뷰] Stochastic nonlinear Schroedinger equations in the defocusing mass and energy critical cases

Deng Zhang|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 01.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 22인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 모든 차원 $ d \geq 1 $ 에서 질량临계인 경우와 $ 3 \leq d \leq 6 $ 에서 에너지临계인 경우, 선형 스토크라틱한 소음이 작용하는 스토크라틱 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 전역 적으로 잘 정의되고 산산이 흩어지는 성질을 확립한다. 스케일링 접근법과 정밀한 스토크라틱 스트리카르츠 추정을 사용하여, 소음의 이차 변동이 유계이면 $ L^2 $, $ H^1 $, 그리고 허구적 등각 공간에서 거의 확실한 전역 존재성, 유일성 및 스케일링된 산산이 흩어지는 성질을 증명한다. 또한 스트리카르츠 공간과 국소 스무딩 공간에서 스토로크-바라다한 유형의 지지정리도 제시한다.

ABSTRACT

We study the stochastic nonlinear Schroedinger equations with linear multiplicative noise, particularly in the defocusing mass-critical and energy-critical cases. For general initial data, we prove the global existence and uniqueness of solutions in both cases. When the quadratic variation of noise is globally bounded, we also obtain the rescaled scattering behavior of solutions in the spaces $L^2$, $H^1$ as well as the pseudo-conformal space. Moreover, the Stroock-Varadhan type theorem for the topological support of solutions are also obtained in the Strichartz and local smoothing spaces.

연구 동기 및 목표

• 선형 다중성 소음을 가진 스토크라틱 비선형 슈뢰딩거 방정식의 질량临계 및 에너지临계 영역에서 전역 존재성과 유일성을 확립한다.
• 소음의 이차 변동이 유계일 조건 하에서 $ L^2 $, $ H^1 $, 그리고 허구적 등각 공간에서 해의 스케일링된 산산이 흩어지는 행동을 증명한다.
• 스트리카르츠 공간과 국소 스무딩 공간에서 해의 위상적 지지의 스토로크-바라다한 유형의 정리를 유도한다.
• 이전에 초임계 케이스에서 사용된 스케일링 접근법을 임계 영역으로 확장하여, 스토크라틱 편향으로 인해 파손되는 결정론적 보존 법칙을 극복한다.

제안 방법

• 힐버트 공간 내에서 도스-두산 유형의 방법을 영감으로 삼은 스케일링 변환을 도입하여 스토크라틱 임계 NLS를 다룬다.
• 비선형 및 스토크라틱 항을 임계 공간에서 제어하기 위해 정밀한 스토크라틱 스트리카르츠 추정을 사용한다.
• 이토-스트라토노비치 보정 항 $ \mu = \frac{1}{2}\sum_k |G_k|^2 $ 을 사용하여 스트라토노비치 유형의 소음을 다루고 질량 또는 에너지 유사 양을 유지한다.
• 시간 이산화된 소음의 근사에서 발생하는 마틴게일 항을 제어하기 위해 최대 부등식과 버크홀더-데이비스-건디 유형의 추정을 적용한다.
• $ g_k $ 에 대한 균일한 연속성과 $ L^p $-유계성 추론을 통해 이산 근사의 수렴성을 확립하여 $ n \to \infty $ 일 때 $ \mathbb{E}[\sup_t |J_n'(t)|^2] \to 0 $ 이 성립함을 보인다.
• $ G_k $ 의 합계 가능성과 정규성 조건을 활용하여 컴팩턴스와 확률적 수렴성을 확보함으로써, 극한에서 스토크라틱 적분의 수렴성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 초기 자료를 가진 스토크라틱 비선형 슈뢰딩거 방정식의 질량临계 케이스에서 전역 적으로 잘 정의된 해를 확보할 수 있는가?
• RQ2 소음의 이차 변동이 유계일 조건 하에서 해가 $ L^2 $, $ H^1 $, 그리고 허구적 등각 공간에서 산산이 흩어지는 성질을 보이는가?
• RQ3 스트리카르츠 공간과 국소 스무딩 공간에서 해에 대해 스토로크-바라다한 유형의 지지정리가 성립하는가?
• RQ4 스케일링 방법은 어떻게 수정되어 스토크라틱 임계 설정에서 대칭성과 보존 법칙의 손실을 극복할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 차원 $ d \geq 1 $ 에서 질량临계 스토크라틱 NLS의 해에 대해 전역 존재성과 유일성이 증명된다.
• 소음의 이차 변동이 유계일 경우, 해는 $ L^2 $, $ H^1 $, 그리고 허구적 등각 공간에서 스케일링된 산산이 흩어지는 성질을 보인다.
• 스트리카르츠 공간과 국소 스무딩 공간에서 해의 위상적 지지에 대해 스토로크-바라다한 유형의 정리가 확립된다.
• 에너지에 대한 사전 경계 조건을 가정할 경우, $ d > 6 $ 에서 에너지临계 케이스에서 조건부 전역 적으로 잘 정의된 해를 확보한다.
• 보존 법칙이 성립하지 않는 경우, 해의 $ L^2 $-노름이 연속적인 국소 마틴게일임을 보여주며 평균 노름 제곱의 보존을 보장한다.
• $ L^p $-추정과 균일한 연속성에 기반하여 이산 근사의 스토크라틱 적분 수렴성을 엄밀히 증명하였고, $ n \to \infty $ 일 때 $ \mathbb{E}[\sup_t |J_n'(t)|^2] \to 0 $ 이 성립한다.