[논문 리뷰] Stochastic nonlinear wave dynamics on compact surfaces

Tadahiro Oh, Tristan Robert외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 10.

Advanced Mathematical Physics Problems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 공간-시간 백색 잡음과 특이한 비선형성으로 인한 발산을 다루기 위해 공간에 의존하는 및 공간-시간에 의존하는 재정규화를 사용하여, 경계가 없는 컴act 2차원 리만 다양체 위에서 스토하스틱 및 결정론적 비선형 파동 방정식에 대한 국소적이고 전역적인 잘 정의됨을 확립한다. 이는 이전의 토러스에 대한 결과를 일반적인 컴act 다각형으로 확장하며, 역학에 따라 긍정적인 전역 존재성과 금속 측도의 불변성을 입증한다.

ABSTRACT

We study the Cauchy problem for the nonlinear wave equations (NLW) with random data and/or stochastic forcing on a two-dimensional compact Riemannian manifold without boundary. (i) We first study the defocusing stochastic damped NLW driven by additive space-time white-noise, and with initial data distributed according to the Gibbs measure. By introducing a suitable space-dependent renormalization, we prove local well-posedness of the renormalized equation. Bourgain's invariant measure argument then allows us to establish almost sure global well-posedness and invariance of the Gibbs measure for the renormalized stochastic damped NLW. (ii) Similarly, we study the random data defocusing NLW (without stochastic forcing), and establish the same results as in the previous setting. (iii) Lastly, we study the stochastic NLW without damping. By introducing a space-time dependent renormalization, we prove its local well-posedness with deterministic initial data in all subcritical spaces. These results extend the corresponding recent results on the two-dimensional torus obtained by (i) Gubinelli-Koch-Oh-Tolomeo (2018), (ii) Oh-Thomann (2017), and (iii) Gubinelli-Koch-Oh (2018), to a general class of compact manifolds. The main ingredient is the Green's function estimate for the Laplace-Beltrami operator in this setting to study regularity properties of stochastic terms appearing in each of the problems.

연구 동기 및 목표

• 2차원 토러스에서의 최근 스토하스틱 및 결정론적 비선형 파동 방정식 결과를 경계가 없는 일반적인 2차원 리만 다각형으로 확장한다.
• 공간에 의존하는 재정규화를 통해 공간-시간 백색 잡음과 금속 분포 초기 조건을 가진 비선형 감쇠 스토하스틱 파동 방정식(SDNLW)의 국소적 잘 정의됨을 입증한다.
• Bourgain의 불변 측도 방법을 사용하여 재정규화된 SDNLW에 대해 거의 확실한 전역적 잘 정의됨과 측도 불변성을 입증한다.
• 동일한 잘 정의됨과 불변성 결과를 스토하스틱 힘 없이 무작위 초기 조건을 가진 비선형 파동 방정식에 대해 확장한다.
• 감쇠가 없는 스토하스틱 비선형 파동 방정식에 대해 공간-시간에 의존하는 재정규화를 사용하여, 임계 이하의 소볼레프 공간 내의 결정론적 초기 조건을 가진 국소적 잘 정의됨을 확립한다.

제안 방법

• 스토하스틱 감쇠 비선형 파동 방정식에서 비선형 항과 공간-시간 백색 잡음으로 인한 발산을 제어하기 위해 공간에 의존하는 재정규화를 도입한다.
• 컴 pact 다각형에서 라플라스-베르트라미 연산자의 그린 함수 추정을 사용하여 스토하스틱 항의 정칙성을 분석한다.
• 재정규화된 SDNLW에 대해 거의 확실한 전역 존재성과 측도 불변성을 입증하기 위해 Bourgain의 불변 측도 방법을 적용한다.
• 컴 pact 다각형에서의 함수 해석학과 준고전적 미분 연산자 계산을 사용하여 라플라스-베르트라미 연산자의 스펙트럼 성질을 제어한다.
• 스토하스틱 분석 및 가우시안 측도 도구를 사용하여 스토하스틱 컨볼루션과 비선형 항에 대한 확률적 추정을 수립한다.
• 주파수 절단 기법과 반복 수렴 추론을 사용하여 임계 소볼레프 공간 내에서 정규화된 해의 수렴성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 토러스에서의 스토하스틱 감쇠 비선형 파동 방정식에 대한 잘 정의됨과 금속 측도 불변성 결과를 일반적인 컴 pact 2차원 리만 다각형으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 공간에 의존하는 재정규화는 컴 pact 다각형에서의 공간-시간 백색 잡음과 비선형성으로 인한 특이성을 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ3 라플라스-베르트라미 연산자의 그린 함수 추정은 비선형 파동 방정식에서 스토하스틱 항의 정칙성을 확립하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 스토하스틱 힘 없이 무작위 초기 조건을 가진 비선형 파동 방정식에 대해 동일한 전역적 잘 정의됨과 측도 불변성 결과를 컴 pact 다각형에서 확보할 수 있는가?
• RQ5 공간-시간에 의존하는 재정규화는 감쇠가 없는 스토하스틱 비선형 파동 방정식이 임계 이하의 소볼레프 공간에서 국소적 잘 정의됨을 어떻게 가능하게 하는가?

주요 결과

• 공간-시간에 의존하는 재정규화를 통해 컴 pact 2차원 다각형에서의 재정규화된 스토하스틱 감쇠 비선형 파동 방정식은 금속 측도에 따라 분포된 초기 조건을 가질 때 국소적 잘 정의됨을 갖는다.
• Bourgain의 불변 측도 방법을 사용하여 재정규화된 SDNLW에 대해 거의 확실한 전역적 잘 정의됨과 금속 측도 불변성을 입증한다.
• 스토하스틱 힘 없이 무작위 초기 조건을 가진 비선형 파동 방정식에 대해서도 동일한 전역적 잘 정의됨과 측도 불변성 결과가 컴 pact 다각형에서 성립한다.
• 감쇠가 없는 스토하스틱 비선형 파동 방정식에 대해 공간-시간에 의존하는 재정규화를 사용하여, 임계 이하의 모든 소볼레프 공간 내의 결정론적 초기 조건을 가진 국소적 잘 정의됨이 입증된다.
• 주파수 절단 설정에서 반복 추정과 코시 수열 추론을 통해 $C([0,T];\tilde{\rho}^{s}(\rho))$ 내에서 정규화된 해의 수렴성이 확립된다.
• 주요 기술적 혁신은 컴 pact 다각형에서의 라플라스-베르트라미 연산자에 대한 그린 함수 추정으로, 이는 스토하스틱 항의 제어와 비선형성의 정칙성을 가능하게 한다.