[논문 리뷰] Stochastic Nonparabolic dissipative systems modeling the flow of Liquid Crystals: Strong solution

Zdzisław Brzeźniak, Erika Hausenblas외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 31.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 무작위 변동을 고려한 난성 액정을 모델링하는 비포물선적이고 소산적인 시스템에 대해 국소적, 최대적, 전역적인 강해의 존재성과 유일성을 확립한다. 스토케스틱 PDE 프레임워크 내에서 고정점 논증을 사용하여 2차원에서는 에너지 기능 제어를 통해 전역 존재성을 증명하고, 3차원의 경우 분석적 제약으로 인해 국소적 해에 국한된다.

ABSTRACT

In this paper we present some mathematical results obtained from the analysis of a stochastic evolution equation which basically describes a Ginzburg-Landau approximation of the system governing the nematic liquid crystals under the influence of fluctuating eternal forces. We mainly prove the existence and uniqueness of local a maximal nd global strong solution to the problem. Here strong solution is understood in the sense of stochastic calculus and PDEs. By a fixed point argument we firstly prove a general result which enables us to establish the existence of local and maximal solution to an abstract nonlinear stochastic evolution equations. Secondly, we show that our problem falls within the previous general framework. Therefore we are able to establish the existence and uniqueness of local and maximal strong solution for both 2D and 3D case. In the 2D case we prove nonexplosion of the maximal solution by a method based on a choice of an appropriate energy functionals. Thus the existence of a unique global strong solution in the 2D case.

연구 동기 및 목표

• 무작위 외부 힘 작용 하에서 난성 액정 동역학의 스토케스틱 Ginzburg-Landau 근사 모델을 분석한다.
• 스토케스틱 미분법과 PDE의 관점에서 강해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 2차원 및 3차원에서 최대해가 폭발하지 않고 전역 존재함을 보장하는지 확인한다.
• 복잡한 유체 모델에 적용 가능한 비선형 스토케스틱 진화 방정식의 일반적 프레임워크를 개발한다.
• 수학적 물리학에서 소산적인 스토케스틱 시스템에 대한 이론적 이해를 확장한다.

제안 방법

• 적절한 함수 공간에서 고정점 논증을 사용하여 일반적인 비선형 스토케스틱 진화 방정식에 대해 존재성과 유일성 결과를 도출한다.
• 이 프레임워크를 다중성 소음을 포함한 난성 액정을 모델링하는 구체적 스토케스틱 시스템에 적용한다.
• 2차원의 경우, 해의 성장과 폭발 방지를 위해 신중히 선택된 에너지 기능이 사용된다.
• 에너지 기능 방법은 사전 추정과 Itô의 공식에 기반하여 시간에 따른 해의 유계성을 확보한다.
• 3차원의 경우, 비선형 항에 대한 충분한 제어가 부족하여 해법은 국소적 해에 국한된다.
• 해의 정규성과 적분 가능성을 보장하기 위해 L2 및 소볼레프 유형 공간에서 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 힘 작용 하에서 난성 액정을 모델링하는 스토케스틱 비포물선 시스템에 대해 강해가 존재하는가?
• RQ2 2차원의 경우 최대해가 전역 존재하는가, 아니면 유한 시간 내에 폭발하는가?
• RQ3 2차원 및 3차원 설정에서 강해의 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 에너지 기능의 선택이 2차원에서의 전역 존재성 증명에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 일반적인 고정점 프레임워크는 다른 스토케스틱 소산성 PDE에 얼마나 광범위하게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 고정점 논증을 통해 일반적인 비선형 스토케스틱 진화 방정식의 클래스에 대해 존재성과 유일성 결과를 확립한다.
• 특정 액정 모델은 이 일반적 프레임워크에 속하여 추상 결과의 적용이 가능하다.
• 2차원의 경우, 적절한 에너지 기능 덕분에 최대해가 폭발하지 않음을 증명하여 전역 존재성을 확보한다.
• 에너지 기능 방법은 해의 성장을 효과적으로 제어하여 2차원에서의 전역 존재성을 보장한다.
• 3차원의 경우 비선형 항의 제어가 부족하여 국소적이고 최대 강해만 확립된다.
• 결과는 2차원 및 3차원에서 모두 스토케스틱 Ginzburg-Landau 모델의 잘 정의됨을 확인하며, 2차원에서는 전역 해를 가진다.