[논문 리뷰] Stochastic phase-field modeling of brittle fracture: computing multiple crack patterns and their probabilities

Tymofiy Gerasimov, Ulrich Römer외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 04.

Numerical methods in engineering참고 문헌 84인용 수 42

한 줄 요약

이 논문은 변분 에너지 함수에 무작위 편항을 적용하여 다수의 가능한 균열 패턴과 그 확률을 계산하는 확률적 단백질 필드 모델을 제안한다. 무작위 필드의 몬테카를로 샘플링을 통해 균열 패턴의 공간적 상관관계를 포착하고, 중간 균열 상태에 조건부 확률을 적용할 수 있으며, 이는 단일 해가 아닌 비유일적 해를 갖는 단백질 필드 균열 모델링의 확률적 대안을 제공한다.

ABSTRACT

In variational phase-field modeling of brittle fracture, the functional to be minimized is not convex, so that the necessary stationarity conditions of the functional may admit multiple solutions. The solution obtained in an actual computation is typically one out of several local minimizers. Evidence of multiple solutions induced by small perturbations of numerical or physical parameters was occasionally recorded but not explicitly investigated in the literature. In this work, we focus on this issue and advocate a paradigm shift, away from the search for one particular solution towards the simultaneous description of all possible solutions (local minimizers), along with the probabilities of their occurrence. Inspired by recent approaches advocating measure-valued solutions (Young measures as well as their generalization to statistical solutions) and their numerical approximations in fluid mechanics, we propose the stochastic relaxation of the variational brittle fracture problem through random perturbations of the functional. We introduce the concept of stochastic solution, with the main advantage that point-to-point correlations of the crack phase fields in the underlying domain can be captured. These stochastic solutions are represented by random fields or random variables with values in the classical deterministic solution spaces. In the numerical experiments, we use a simple Monte Carlo approach to compute approximations to such stochastic solutions. The final result of the computation is not a single crack pattern, but rather several possible crack patterns and their probabilities. The stochastic solution framework using evolving random fields allows additionally the interesting possibility of conditioning the probabilities of further crack paths on intermediate crack patterns.

연구 동기 및 목표

• 비볼록 에너지 함수에 의해 발생하는 국소 최소화자 다수 존재로 인해 비결정론적 단백질 필드 균열 모델에서 해의 비유일성 문제를 다루기.
• 표준 방법이 해의 불확실성을 정량화하지 못하는 한계를 극복하여 유일한 하나의 균열 패턴만 반환하는 문제 해결.
• 균열 패턴을 무작위 필드로 표현하여 공간적 상관관계를 포착하고 다양한 균열 경로의 확률을 정량화하는 확률적 해 프레임워크 개발.
• 진행 중인 균열 과정을 실시간 평가하기 위해 부분적으로 발달한 균열 상태에 기반한 균열 확률 조건부 업데이트 기능 제공.
• 비결정론적 해에 비해 메esh 및 기하학적 변형에 대한 민감도가 감소하는 것 입증.

제안 방법

• 에너지 함수에 무작위 편항을 추가하여 변분 균열 문제의 확률적 완화를 도입.
• 전통적 해 공간에 값을 갖는 무작위 필드로 해를 정의하여 균열 패턴과 그 불확실성을 표현 가능하게 함.
• 에이젠스의 실현값 집합에서 통계적 모멘트와 균열 패턴 확률을 몬테카를로 샘플링으로 근사.
• 균열이 선과 교차하는 확률 밀도 함수를 계산하기 위해 커널 밀도 추정법 적용, 조건부 확률 갱신 가능.
• 분리 표현과 무작위 필드 공식화를 활용해 단백질 필드 내 공간적 상관관계 효율적으로 모델링.
• 베이즈 정리 기반 조건부 전략을 도입하여 관측된 중간 균열 구성을 바탕으로 특정 균열 유형의 확률 계산.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단백질 필드 균열에서 발생하는 다수의 비유일적 균열 패턴을 체계적으로 확률 기반으로 정량화하고 순위를 매길 수 있는가?
• RQ2 에너지 함수에 대한 무작위 편항이 안정적이고 대표적인 균열 경로의 확률적 기술을 제공할 수 있는가?
• RQ3 단백질 필드 내 공간적 상관관계가 계산된 균열 확률의 신뢰성과 물리적 일관성에 어느 정도 영향을 미치는가?
• RQ4 균열 확률은 전파 과정에서 어떻게 변화하며, 부분적으로 발달한 균열 상태에 기반해 갱신될 수 있는가?
• RQ5 비결정론적 해법에 비해 확률적 해 개념이 메쉬 및 수치적 아티팩트에 대한 민감도를 감소시키는가?

주요 결과

• η = 0.01 및 M = 200개 몬테카를로 샘플을 사용한 반평면 전단 시험에서, 세 가지 다른 균열 유형의 확률은 각각 p₁ = 0.325, p₂ = 0.335, p₃ = 0.340로 근사적으로 동일한 가능성 존재.
• 편항 크기를 η = 0.02로 증가시킨 결과 확률은 p₁ = 0.30, p₂ = 0.33, p₃ = 0.37로 약간 변화하여 예상되는 바와 같이 편항 유형 의존성 확인.
• 조건부 확률 분석 결과, n = 9단계에서 왼쪽으로 휘어진 균열은 n = 11까지 유형 1 확률이 약 0.5에서 거의 0으로 감소함으로써 초기 균열 휨에 매우 민감함을 입증.
• 초기 우측으로 휘어진 균열의 경우, n = 11까지 구멍을 통과할 확률이 크게 감소하여 초기 형태의 변화가 최종 균열 경로 가능성에 강력한 영향을 미침을 시사.
• 확률적 해 프레임워크는 단백질 필드 내 공간적 상관관계를 성공적으로 포착하여, 표준 영양 측도에서는 불가능한 조건부 확률 갱신 가능.
• 수치 결과는 비결정론적 해법에 비해 수치 설정 변화에 덜 민감한 것으로 나타나 실무에서 더 높은 강건성을 확보함을 시사.