[논문 리뷰] Stochastic processes on non-Archimedean spaces with values in non-Archimedean fields

S. V. Lüdkovsky, A. Yu. Khrennikov|ArXiv.org|2001. 10. 28.

advanced mathematical theories참고 문헌 31인용 수 45

한 줄 요약

이 논문은 비아르키메데스적 확률과정이 정의된 위상벡터공간 위에서 전이측도가 같은 분야의 값으로 취해지는 비아르키메데스적 확률과정에 대한 비아르키메데스적 콜모고로프 정리의 일반화를 증명함으로써, 비아르키메데스적 확률해석의 프레임워크를 수립한다. 비아르키메데스적 마르코프 및 포아송 과정을 도입하고, 비아르키메데스적 레비 정리를 증명하며, $p$-adic 및 비아르키메데스적 확률측도를 이용해 광범위한 확률과정의 클래스를 구성한다.

ABSTRACT

Stochastic processes on topological vector spaces over non-Archimedean fields and with transition measures having values in non-Archimedean fields are defined and investigated. For this the non-Archimedean analog of the Kolmogorov theorem is proved. The analogos of Markov and Poisson processes are studied. For Poisson processes the corresponding Poisson measures are considered and the non-Archimedean analog of the Lèvy theorem is proved. Wide classes of stochastic processes are constructed.

연구 동기 및 목표

• 비아르키메데스적 필드 위의 위상벡터공간에 대한 엄밀한 확률해석 프레임워크를 개발하여, 고전적 확률과정을 비아르키메데스적 환경으로 확장한다.
• 비아르키메데스적 필드의 값으로 취해지는 전이측도를 갖는 확률과정을 정의하고 조사함으로써 기존 문헌의 격차를 메운다.
• 유한차원 분포로부터 확률과정을 구성하기 위한 비아르키메데스적 콜모고로프 정리의 비아르키메데스적 일반화를 증명한다.
• 마르코프 및 포아송 과정의 비아르키메데스적 일반화를 연구하며, 관련 측도와 특성함수를 포함한다.
• 비아르키메데스적 확률공간으로의 고전 결과 확장을 위해 포아송 과정에 대한 비아르키메데스적 레비 정리의 비아르키메데스적 버전을 수립한다.

제안 방법

• 완전한 비아르키메데스적 필드에 값이 있는 커버링 링 위에서 $p$-adic 및 비아르키메데스적 확률측도를 정의하고, 가법성, 유계성, 연속성 조건을 만족시킨다.
• 수축 가족의 개념을 도입하고, 극한 구조를 사용하여 비아르키메데스 측도이론에서 수렴성과 적분 가능성을 정의한다.
• $\mu$-적분 가능 함수를 구성하고, $\mu$-노름과 $\phi$-가중 최댓값을 이용하여 $\mu$-적분 가능 함수의 바나흐 공간 $L(\mu)$를 정의한다.
• 비아르키메데스적 원통형 분포를 정의하고, 마르코프 유형 과정에 대해 유계성/무한대 성질을 증명한다.
• 지수함수 $Exp$와 $EXP$의 국소 해석적 확장을 사용하여, 비아르키메데스적 환경에서 특성함수와 모멘트 생성 함수를 정의한다.
• 스텝 함수 근사와 분할 $\cal Z$에 대한 극한을 사용하여 포아송 측도 $n(dl)$에 대한 확률적 적분을 통해 포아송 과정을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아르키메데스적 위상벡터공간 위에서 비아르키메데스적 필드의 값을 갖는 확률과정를 어떻게 엄밀하게 정의할 수 있는가?
• RQ2 유한차원 분포로부터 확률과정를 구성하기 위한 비아르키메데스적 콜모고로프 정리의 비아르키메데스적 일반화는 무엇인가?
• RQ3 비아르키메데스적 마르코프 및 포아송 과정은 그 고전적 대응체와 비교해 어떤 점에서 차이가 나는가? 특히 구조적 및 측도론적 성질 측면에서.
• RQ4 비아르키메데스적 값의 측도를 갖는 포아송 과정에 대해 비아르키메데스적 레비 정리를 증명할 수 있는가?
• RQ5 비아르키메데스 함수해석학에서 선형 순서의 부재와 부정적분의 부재가 확률과정 구성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 비아르키메데스적 콜모고로프 정리의 비아르키메데스적 일반화가 증명되었으며, 이는 비아르키메데스 공간 위에서 일致한 유한차원 분포로부터 확률과정를 구성할 수 있음을 보여준다.
• 비아르키메데스적 마르코프 과정은 원통형 분포를 통해 정의되며, 그 유계성 및 무한대 성질은 제3.3.1조 및 제3.3.2조에서 특성화된다.
• 포아송 과정의 특성함수가 $\psi(\rho) = \rho m_0 + \int_{\bf K} [1 - EXP(-\rho l)] n(dl)$ 를 만족하고, $n$이 포아송 측도임을 보여주는 비아르키메데스적 레비 정리의 비아르키메데스적 버전이 수립되었다.
• 시간 매개변수가 $p$-adic 또는 일반군(아델과 아이델 포함)인 확률과정가 구성되었으며, 그 존재성이 정리 4.3에서 증명되었다.
• 비아르키메데스적 측도를 사용하여 광범위한 확률과정의 클래스를 구성하고, 포아송 유형의 모멘트 구조를 갖는 해의 존재성을 증명하였다: $\xi(t,\omega) = t m_0 + \int_{\bf K} l \mathcal{\eta}(t,dl,\omega)$.
• 분할 $\cal Z$에 대한 특성함수의 극한은 $M_t[EXP(-\rho \xi(t,\omega))] = EXP(-\rho t m_0) \cdot EXP\left(-\rho t \int_{\bf K} (1 - EXP(-\rho l)) n(dl)\right)$ 를 만족하며, 이는 확률과정의 구조가 확인됨을 시사한다.