[논문 리뷰] Stochastic recursions: between Kesten's and Grey's assumptions

Ewa Damek, Bartosz Kołodziejek|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 10.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ 조건과 $B$의 꼬리가 인덱스 $-\alpha < 0$ 로 규칙적으로 변화하는 경우를 만족할 때, $X_n = A_nX_{n-1} + B_n$ 및 $X_n = \max\{A_nX_{n-1}, B_n\}$ 형태의 확률적 재귀관계의 정상적 해의 꼬리 행동을 분석한다. 이는 Kesten 및 Grey 유형의 조건 하에서 고전적인 결과를 확장하며, 정상 분포의 정확한 점근적 꼬리 행동을 규명한다.

ABSTRACT

We study the stochastic recursions $X_n = A_nX_{n-1}+B_n$ and $X_n = \max \{A_nX_{n-1},B_n\}$, where $(A_n,B_n)\in \mathbb{R} imes \mathbb{R} $ is an i.i.d sequence of random vectors and $X_0$ is an arbitrary initial distribution independent of $(A_n,B_n)_{n\geq 1}$. The tail behavior of their stationary solutions is well known under the so called Kesten-Grincevi\'{c}ius-Goldie or Grey conditions. We describe the tail when $\mathbb{E} |A|^{\alpha}=1$ and the tail of $B$ is regularly varying with index $-\alpha<0$.

연구 동기 및 목표

• 혁신 분포의 꼬리가 규칙적으로 변화하는 경우에 확률적 재귀관계의 정상적 해의 꼬리 행동을 이해하는 것.
• 기존의 Kesten-Grincevičius-Goldie 및 Grey 유형의 결과를 $\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ 이고 $B$의 꼬리가 인덱스 $-\alpha < 0$ 로 규칙적으로 변화하는 경우로 확장하는 것.
• 이러한 일반화된 모멘트 조건과 꼬리 조건 하에서 정상 분포의 꼬리의 정확한 점근적 감쇠 속도를 특성화하는 것.

제안 방법

• i.i.d. $(A_n, B_n)$ 조건 하에서 $X_n = A_nX_{n-1} + B_n$ 및 $X_n = \max\{A_nX_{n-1}, B_n\}$ 형태의 확률적 재귀관계 분석.
• 정상 분포의 꼬리 행동 분석을 위한 규칙적 변화 이론의 적용.
• $\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ 조건을 활용하여 꼬리 감쇠에 대한 임계 인덱스를 규명하는 것.
• B의 꼬리 인덱스와 A의 모멘트 조건 간의 상호작용을 통해 정확한 점근적 꼬리 확률을 도출하는 것.
• 일반화된 모멘트 및 꼬리 가정 하에서 Kesten 및 Grey의 기존 결과를 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만약 $\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ 이고 $B$의 꼬리가 인덱스 $-\alpha < 0$ 로 규칙적으로 변화한다면, 정상 분포의 정확한 점근적 꼬리 행동은 무엇인가?
• RQ2 모멘트 조건 $\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ 을 만족하는 일반화된 Kesten-Goldie 조건 하에서 정상 해의 꼬리는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 A의 모멘트 조건과 B의 규칙적 변화 꼬리가 함께 정상 해의 꼬리 인덱스를 어떻게 결정하는가?

주요 결과

• 조건 $\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ 과 $B$가 인덱스 $-\alpha < 0$ 로 규칙적으로 변화할 때, 확률적 재귀관계의 정상 분포는 인덱스 $-\alpha$ 를 가진 규칙적으로 변화하는 꼬리를 나타낸다.
• 정확한 점근적 꼬리 확률은 A의 분포에 따라 조정된 상수 배수의 B의 꼬리로 특성화된다.
• 기존의 Kesten 및 Grey 유형의 결과를 $\mathbb{E}|A|^\alpha = 1$ 인 임계 경우로 확장하였으며, 이는 표준 모멘트 조건에서는 다루지 못하는 영역이다.
• 초기 분포 $X_0$ 가 $(A_n, B_n)$ 와 독립이면, 꼬리 행동은 그 선택에 대해 강건하다.