[논문 리뷰] Stochastic Representations for Solutions to Parabolic Dirichlet Problems for Nonlocal Bellman Equations

Ruoting Gong, Chenchen Mou외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 01.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유계 도메인 내에서 비정규성 있는 해밀턴-자코비-베르만(HJB) 적분-미분방정식(integro-PDE)의 점성해에 대한 확률적 표현 공식을 수립하며, 고유한 점성해가 관련된 확률적 최적제어 문제의 가치함수와 일치함을 증명한다. 증명은 근사 기법, 점성해 이론, 그리고 퇴출 시간과 레비 과정의 세밀한 분석에 기반하며, 동적 프ogramming 원리가 핵심 결과로 도출된다.

ABSTRACT

We prove a stochastic representation formula for the viscosity solution of Dirichlet terminal-boundary value problem for a degenerate Hamilton-Jacobi-Bellman integro-partial differential equation in a bounded domain. We show that the unique viscosity solution is the value function of the associated stochastic optimal control problem. We also obtain the dynamic programming principle for the associated stochastic optimal control problem in a bounded domain.

연구 동기 및 목표

• 유계 도메인 내에서 딜레르히 경계-시간 조건을 갖는 비정규성 HJB 적분-PDE의 점성해에 대한 확률적 표현 공식을 수립한다.
• 유일한 점성해가 관련된 확률적 최적제어 문제의 가치함수와 일치함을 증명한다.
• 유계 도메인 내에서 확률적 제어 문제에 대한 동적 프로그래밍 원리를 엄밀히 유도하며, 이전 문헌의 기술적 공백을 메운다.
• 비정규성, 유한 제어, 매끄러운 근사화된 방정식을 포함하는 근사화 방법을 통해 유계 도메인의 과제를 다룬다.

제안 방법

• 유한 제어 집합과 매끄러운 자료를 갖는 계수의 수열을 사용하여, 약간 확대된 도메인에서 원래의 비정규성 HJB 적분-PDE를 비정규성 방정식으로 근사한다.
• 바rier 함수와 커프오프 기법을 통해 점성해 상위해와 하위해를 구성하며, 균일 연속성과 경계 일致성을 확보한다.
• Perron의 방법을 적용하여 원래 방정식의 점성해를 구한 후, 근사 극한을 통한 가치함수 성질을 검증한다.
• 문헌 [31]의 적분-PDE에 대한 점성해 이론을 활용하며, 도메인에 대한 약간의 연속성 가정과 경계에서의 비정규성에 기반한다.
• 퇴출 시간과 레비 과정에 의해 구동되는 확산 과정의 행동을 분석하여 경계 효과를 통제하고 근사의 수렴을 보장한다.
• 균일한 유계와 점성해 안정성에 기반하여 검증 조건을 검토함으로써 동적 프로그래밍 원리를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 도메인 내에서 비정규성 HJB 적분-PDE의 고유한 점성해는 관련된 확률적 최적제어 문제의 가치함수로 표현될 수 있는가?
• RQ2 레비 과정에 의해 구동되는 확률적 제어 문제에 대한 동적 프로그래밍 원리는 딜레르히 경계 조건을 갖는 유계 도메인에서 성립하는가?
• RQ3 비국소 연산자가 존재하는 상황에서, 경계 자료와 시간 조건을 존중하는 균일한 점성해 상위해와 하위해를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 유계 도메인 내에서 원래 문제의 점성해로의 수렴을 보장하는 근사 체계는 무엇인가?
• RQ5 도메인과 계수에 대한 어떤 연속성 및 비정규성 가정 하에 가치함수가 연속성을 유지하고 HJB 적분-PDE를 만족하는가?

주요 결과

• 비정규성 HJB 적분-PDE의 딜레르히 시간-경계 조건 문제에 대한 고유한 점성해는 관련된 확률적 최적제어 문제의 가치함수로 식별된다.
• 확률적 표현 공식이 수립되었으며, 이는 유계 도메인 내에서 제어된 점프-확산 과정의 기대 비용-미래 값과 연결된다.
• 확률적 제어 문제에 대한 동적 프로그래밍 원리는 엄밀히 증명되었으며, 비국소 역학을 갖는 유계 도메인으로 기존 결과를 확장한다.
• 구성된 점성해 하위해와 상위해의 균일 연속성이 근사 매개수에 관계없이 확보되어 극한에서의 안정성을 보장한다.
• 퇴출 시간과 과정 행동에 대한 정밀한 추정을 통해 수렴이 확보된, 비정규성, 유한 제어, 매끄러운 근사화된 방정식을 사용하는 새로운 근사 체계에 기반한다.
• 기울기에 대한 균일한 하한을 갖는 바리에어 함수의 구성은 영역 경계 전체에서 점성해 상위해 성질의 타당성을 보장한다.