[논문 리뷰] Stochastic Schrodinger equations

Luc Bouten, Guta, Madalin외 1명|TU/e Research Portal (Eindhoven University of Technology)|2003. 09. 29.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 36인용 수 41

한 줄 요약

이 논문은 양자 필터링 이론을 사용하여 개방 양자 시스템에 대한 스토하스틱 슈뢰딩거 방정식을 유도하며, 연속 측정(예: 광자 수세기 및 호모다이드 검출)이 조건부 기대값을 통해 상태 궤적을 생성하는 방식을 보여준다. 주요 기여는 양자 확률 미적분을 사용한 이러한 방정식의 체계적 유도이며, 이는 이중준위 원자에서의 공 resonance 형광에 대한 명시적 결과를 포함한다.

ABSTRACT

A derivation of stochastic Schrodinger equations is given using quantum filtering theory. We study an open system in contact with its environment, the electromagnetic field. Continuous observation of the field yields information on the system: it is possible to keep track in real time of the best estimate of the system's quantum state given the observations made. This estimate satisfies a stochastic Schrodinger equation, which can be derived from the quantum stochastic differential equation for the interaction picture evolution of system and field together. Throughout the paper we focus on the basic example of resonance fluorescence.

연구 동기 및 목표

• 양자 필터링 이론을 사용하여 스토하스틱 슈뢰딩거 방정식을 엄밀하고 기초적인 방식으로 유도하는 것.
• 기본 양자 궤적 접근법과 필터링 기반 접근법 사이의 개념적 차이를 명확히 하는 것.
• 확산 근사와 양자 필터링을 통해 유도된 스토하스틱 슈뢰딩거 방정식 간의 동치성을 보여주는 것.
• 임의의 개방 양자 시스템과 측정 방식에 대해 스토하스틱 슈뢰딩거 방정식을 유도하는 일반적인 절차를 제시하는 것.
• 측정 과정(광자 수세기, 호모다이드 검출)과 시스템 상태의 해당 스토하스틱 진화 사이의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 연속 측정 기록을 바탕으로 시스템 관측량의 조건부 기대값을 계산하기 위해 양자 필터링 이론을 사용한다.
• 이토 표를 활용한 양자 확률 미적분을 적용하여 시스템 상태 진화를 지배하는 스토하스틱 미분 방정식을 도출한다.
• 스토하스틱 슈뢰딩거 방정식을 시스템 상태의 필터링 방정식(벨라프스키 방정식)으로 간주하여, 장치 측정에 조건부된 상태에 대해 유도한다.
• 두 가지 측정 방식을 고려한다: 광자 수세기(점프 유형 동역학) 및 호모다이드 검출(연속 경로를 가지는 확산 근사).
• 두 가지 독립적인 경로를 통해 방정식을 유도한다: (1) 확산 근사를 포함한 표준 양자 궤적 접근법, (2) 직접 필터링 유도; 개념적 차이점을 부각한다.
• 마코프 근사와 시스템 및 장의 단위 연속 진동을 양자 확률 미분 방정식을 통해 함께 고려한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 개방 양자 시스템에서 연속 측정 과정으로부터 스토하스틱 슈뢰딩거 방정식을 어떻게 체계적으로 유도할 수 있는가?
• RQ2 양자 궤적 접근법과 양자 필터링 접근법 사이의 정확한 수학적 관계는 무엇인가? 이는 시스템 진화를 기술할 때 어떻게 다르게 나타나는가?
• RQ3 광자 수세기 및 호모다이드 검출과 같은 서로 다른 측정 방식은 어떻게 다른 스토하스틱 슈뢰딩거 방정식을 유도하는가?
• RQ4 양자 확률 미적분은 시스템 상태의 조건부 기대값 진화를 유도하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이중준위 원자에서의 공 resonance 형광에 대해 필터링 방정식은 물리적 관측량과 측정 과정을 어떻게 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 광자 수세기의 경우 스토하스틱 슈뢰딩거 방정식은 광자 탐지 시점에 비례하는 점프를 갖는 점프 유형 방정식으로 유도되며, 조건부 상태는 광자 탐지에 따라 점프한다.
• 호모다이드 검출의 경우 스토하스틱 슈뢰딩거 방정식은 확산 형태를 띠며, 이는 광자 수세기의 확산 근사로 유도된 노이즈 항을 포함하여 상태 공간에서 연속적인 경로를 형성한다.
• 유도된 방정식은 이전에 제안된 벨라프스키 방정식과 동치이며, 물리적 및 수학적 일관성을 확인한다.
• 필터링 접근법의 혁신은 힌트 없는 근사 없이 직접 양자 확률 미적분을 사용하여 조건부 기대값을 유도하는 데 있다.
• 조건부 기대값 진화가 마코프적이며, 측정 상호작용에 따라 변화하는 드리프트 및 확산 항을 갖는 선형 스토하스틱 미분 방정식에 의해 지배됨을 보여준다.
• 측정 과정($Y_t = X_φ(t)$)과 관련된 마틴게일 $\tilde{Y}_t$가 방정식의 스토하스틱 항의 구조를 결정함을 입증하였다.