[논문 리뷰] Stochastic state estimation via incremental iterative sparse polynomial chaos based Bayesian-Gauss-Newton-Markov-Kalman filter

Bojana Rosić|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 12.

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형적이고 혼돈적인 시스템에서의 확률적 상태 추정을 향상시키기 위해 희소 다항 혼합 확장과 베이지안 추정을 사용하는 새로운 증분적 반복 가우스-뉴턴-마르코프-칼만 필터를 제안한다. 가상 측정치와 시간에 적응하는 다항 혼합 확장을 활용해 필터를 증분적 예측-보정 형식으로 재구성함으로써, 고노이즈 및 큰 시간 간격 조건에서도 샘플링이 없는 강건한 상태 추정을 달성하였으며, 로렌츠-1984 시스템을 대상으로 검증되었다.

ABSTRACT

In this paper is proposed a novel incremental iterative Gauss-Newton-Markov-Kalman filter method for state estimation of dynamic models given noisy measurements. The mathematical formulation of the proposed filter is based on the construction of an optimal nonlinear map between the observable and parameter (state) spaces via a convergent sequence of linear maps obtained by successive linearisation of the observation operator in a Gauss-Newton-like form. To allow automatic linearisation of the dynamical system in a sparse form, the smoother is designed in a hierarchical setting such that the forward map and its linearised counterpart are estimated in a Bayesian manner given a forecasted data set. To improve the algorithm convergence, the smoother is further reformulated in its incremental form in which the current and intermediate states are assimilated before the initial one, and the corresponding posterior estimates are taken as pseudo-measurements. As the latter ones are random variables, and not deterministic any more, the novel stochastic iterative filter is designed to take this into account. To correct the bias in the posterior outcome, the procedure is built in a predictor-corrector form in which the predictor phase is used to assimilate noisy measurement data, whereas the corrector phase is constructed to correct the mean bias. The resulting filter is further discretised via time-adapting sparse polynomial chaos expansions obtained either via modified Gram-Schmidt orthogonalisation or by a carefully chosen nonlinear mapping, both of which are estimated in a Bayesian manner by promoting the sparsity of the outcomes. The time adaptive basis with non-Gaussian arguments is further mapped to the polynomial chaos one by a suitably chosen isoprobabilistic transformation. Finally, the proposed method is tested on a chaotic nonlinear Lorenz 1984 system.

연구 동기 및 목표

• 노이즈가 많은 측정치를 가진 매우 비선형적이고 혼돈적인 시스템에서 기존 칼만 필터의 한계를 해결하기 위해.
• 베이지안 상태 추정에서 몬테카를로 방법의 샘플링 오차와 느린 수렴 문제를 극복하기 위해.
• 비선형 상태 추정을 위한 입자 필터와 앙상블 방법의 샘플링 기반 접근 방식에 대체할 수 있는 결정론적이고 샘플링이 없는 대안을 개발하기 위해.
• 증분적 가상시간 스텝 및 다항 혼합 확장의 베이지안 학습을 통해 상태 추정의 수렴성과 정확도를 향상시키기 위해.
• 고노이즈 및 희박한 관측 조건에서도 로렌츠-84와 같은 혼돈 시스템에서 초기 상태 복원의 강건성을 확보하기 위해.

제안 방법

• 필터는 가우스-뉴턴 유사 형태의 반복 선형화를 통해 관측 공간과 상태 공간 간의 최적 비선형 사상 구축.
• 계층적이고 희소한 다항 혼합 프레임워크 내에서 베이지안 관련 벡터 기반 기계를 사용해 정방향 사상과 그 선형화된 형태 추정.
• 증분적 형식은 현재 및 중간 상태를 가상 측정치로 통합하여 랜덤 변수로 간주함으로써 확률적 필터링 가능하게 함.
• 예측-보정 구조를 활용: 예측기는 노이즈가 있는 측정치를 통합하고, 보정기는 사후 추정치의 평균 편향을 감소시킴.
• 수정된 그람-슈미트 또는 비선형 등확률 맵핑을 통해 시간에 적응하는 희소 다항 혼합 확장 생성되며, 기저 함수는 베이지안 방식으로 추정됨.
• 업데이트 방정식은 표준 정규 변수에서의 다항 혼합 확장으로 이산화되어 샘플링 없이 효율적이고 정확한 계산 가능하게 함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼돈 시스템에서 높은 비선형성과 측정 노이즈에 강건한 가우스-뉴턴 기반 반복 필터를 개발할 수 있는가?
• RQ2 샘플링에 의존하지 않고 비선형 상태 추정에서 결정론적 필터의 수렴성과 정확도를 어떻게 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 베이지안 다항 혼합을 활용한 증분적 가상시간 스텝이 상태 추정 문제에서 사후 추정에 얼마나 기여하는가?
• RQ4 완전히 결정론적이고 샘플링이 없는 방법이 혼돈 시스템에서 전통적 입자 필터보다 강건성과 계산 효율성 측면에서 뛰어나게 성능을 냈는가?
• RQ5 희소하고 시간에 적응하는 다항 혼합을 베이지안 학습과 함께 사용할 경우, 상태 추정에서 조건부 기대값 근사의 정확도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 필터는 고노이즈 및 큰 시간 간격 조건에서도 혼돈적인 로렌츠-1984 시스템의 초기 상태를 성공적으로 복원하였다.
• 샘플링이 없는 방식을 통해 몬테카를로 기반 접근 방식이 내재한 샘플링 오차를 피함으로써 강건한 성능 달성.
• 증분적 가상시간 스텝의 사용이 상태 추정 과정의 수렴성과 안정성에 크게 기여함.
• 다항 혼합 계수의 베이지안 추정은 희소성과 적응성을 보장하여 낮은 관측 주기 조건에서도 정확도 유지.
• 수정된 그람-슈미트 또는 비선형 맵핑을 통해 생성된 시간에 적응하는 기저 함수는 다양한 관측 간격에서도 추정 정확도 유지.
• 예측-보정 구조는 사후 추정치의 평균 편향을 효과적으로 감소시켜 전체 상태 재구성의 정확도 향상.