[논문 리뷰] Stochastic submodular cover with limited adaptivity

Arpit Agarwal, Sepehr Assadi외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 06.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 적응성 제한이 있는 경우 near-optimal 성능를 달성할 수 있는 stochasic submodular cover를 위한 r라운드 적응 알고리즘을 제안한다. 각 라운드에서는 고정된 아이템 순서를 사용하며, 전체 적응 알고리즘에 비해 적응성의 격차를 좁히기 위해 로그 수준의 라운드가 필요하고 충분하다고 보여준다. 이는 전체 적응 알고리즘에 대해 O(Q^{1/r})의 날카로운 근사 비율을 확보한다.

ABSTRACT

In the submodular cover problem, we are given a non-negative monotone submodular function f over a ground set E of items, and the goal is to choose a smallest subset S ⊆ E such that f (S) = Q where Q = f (E). In the stochastic version of the problem, we are given m stochastic items which are different random variables that independently realize to some item in E, and the goal is to find a smallest set of stochastic items whose realization R satisfies f (R) = Q. The problem captures as a special case the stochastic set cover problem and more generally, stochastic covering integer programs.A fully adaptive algorithm for stochastic submodular cover chooses an item to realize and based on its realization, decides which item to realize next. A non-adaptive algorithm on the other hand needs to choose a permutation of items beforehand and realize them one by one in the order specified by this permutation until the function value reaches Q. The cost of the algorithm in both case is the number (or costs) of items realized by the algorithm. It is not difficult to show that even for the coverage function there exist instances where the expected cost of a fully adaptive algorithm and a non-adaptive algorithm are separated by Ω(Q). This strong separation, often referred to as the adaptivity gap, is in sharp contrast to the separations observed in the framework of stochastic packing problems where the performance gap for many natural problem is close to the poly-time approximability of the non-stochastic version of the problem. Motivated by this striking gap between the power of adaptive and non-adaptive algorithms, we consider the following question in this work: does one need full power of adaptivity to obtain a near-optimal solution to stochastic submodular cover? In particular, how does the performance guarantees change when an algorithm interpolates between these two extremes using a few rounds of adaptivity.Towards this end, we define an r-round adaptive algorithm to be an algorithm that chooses a permutation of all available items in each round k ∈ [r], and a threshold τk, and realizes items in the order specified by the permutation until the function value is at least τk. The permutation for each round k is chosen adaptively based on the realization in the previous rounds, but the ordering inside each round remains fixed regardless of the realizations seen inside the round. Our main result is that for any integer r, there exists a poly-time r-round adaptive algorithm for stochastic submodular cover whose expected cost is O(Q1/r) times the expected cost of a fully adaptive algorithm. Prior to our work, such a result was not known even for the case of r = 1 and when f is the coverage function. On the other hand, we show that for any r, there exist instances of the stochastic submodular cover problem where no r-round adaptive algorithm can achieve better than Ω(Q/1/r) approximation to the expected cost of a fully adaptive algorithm. Our lower bound result holds even for coverage function and for algorithms with unbounded computational power. Thus our work shows that logarithmic rounds of adaptivity are necessary and sufficient to obtain near-optimal solutions to the stochastic submodular cover problem, and even few rounds of adaptivity are sufficient to sharply reduce the adaptivity gap.

연구 동기 및 목표

• 스토하스틱 서브모듈라 커버 문제에서 전체 적응 알고리즘과 비적응 알고리즘 간의 큰 적응성 격차를 해결하기 위해.
• 제한된 적응성—특히 r라운드—이 near-optimal 성능를 달성할 수 있는지 조사하기 위해.
• 스토하스틱 커버링 문제에서 적응성 라운드 수와 근사 품질 간의 트레이드오프를 규명하기 위해.
• r라운드 적응 알고리즘의 성능에 대해 날카로운 상한과 하한을 설정하기 위해.

제안 방법

• 이전 실현값을 기반으로 각 라운드 k ∈ [r]의 시작 시점에 고정된 순열과 임계값 τk를 정의하는 r라운드 적응 알고리즘을 정의한다.
• 각 라운드에서 아이템들은 고정된 순서로 실현되며, 함수 값이 τk에 도달할 때까지 진행되며, 순서는 이전 라운드의 결과를 기반으로 적응적으로 선택된다.
• r라운드 전략을 다항시간 알고리즘으로 계산하여 기대 비용이 전체 적응 최적해에 대해 O(Q^{1/r}) 이내가 되도록 보장한다.
• 커버리지 함수를 사용하여 하한 인스턴스를 구성함으로써, 무한한 계산 능력을 가진 경우에도 r라운드 알고리즘이 O(Q^{1/r})보다 나은 근사 비율을 달성할 수 없다는 것을 보여준다.
• 서브모듈라리티와 스토하스틱 아이템 실현값을 활용하여 각 라운드 간 기대 비용을 제한한다.
• 하한이 상한과 상수 인자 범위 내에서 일치함을 보여줌으로써 상한의 날카로움을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 r라운드 적응 알고리즘이 제한된 적응성 조건 하에서 스토하스틱 서브모듈라 커버 문제에서 near-optimal 성능를 달성할 수 있는가?
• RQ2 적응성 라운드 수 r과 전체 적응 최적해에 대한 근사 비율 사이의 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ3 무한한 계산 능력을 가진 알고리즘이라도 r라운드 알고리즘이 성능을 얼마나 잘 달성할 수 있는지에 대한 근본적인 한계가 존재하는가?
• RQ4 적어도 몇 개의 라운드만으로도 적응성 격차가 크게 줄어들 수 있는가?

주요 결과

• 모든 정수 r에 대해, 전체 적응 알고리즘의 기대 비용에 비해 O(Q^{1/r}) 배 이내의 기대 비용을 가지는 다항시간 r라운드 적응 알고리즘이 존재한다.
• 상한이 상수 인자 범위 내에서 날카로우며, 어떤 인스턴스에서는 r라운드 알고리즘이 전체 적응 비용에 대해 O(Q^{1/r})보다 나은 근사 비율을 달성할 수 없다는 것이 입증된다.
• 커버리지 함수의 경우 r = 1일 때는 적응성 격차가 여전히 Ω(Q)이지만, r라운드를 거치면 O(Q^{1/r})로 줄어든다.
• 로그 수준의 적응성 라운드(r = Θ(log Q))가 전체 적응 최적해에 대해 상수 인자 근사 비율을 달성하기 위해 필수적이고 충분하다.
• 하한은 계산 능력이 무한한 알고리즘에게도 적용되며, 이는 제한 요인이 계산적 것이 아니라 구조적임을 증명한다.
• 결과적으로, 몇 번의 적응성 라운드—특히 r = O(log Q) —만으로도 스토하스틱 서브모듈라 커버 문제에서 적응성 격차를 거의 완전히 줄일 수 있음을 보여준다.