[논문 리뷰] Stochastic Symplectic and Multi-Symplectic Methods for Nonlinear Schrödinger Equation with White Noise Dispersion

Jianbo Cui, Jialin Hong외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 12.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 백색 잡음 분산을 갖는 비선형 슈뢰딩거 방정식을 위한 확률적 심플렉틱 및 다중심플렉틱 적분법을 제안하며, 전하 보존과 심플렉틱 구조를 유지한다. 이 방법들은 확률적으로 시간 순서 1을 달성하고 수치 실험에서 비심플렉틱 방법(예: 오일러-마르야모 방법)보다 뛰어난 장기 안정성 및 보존 성질을 보여준다.

ABSTRACT

We indicate that the nonlinear Schrödinger equation with white noise dispersion possesses stochastic symplectic and multi-symplectic structures. Based on these structures, we propose the stochastic symplectic and multi-symplectic methods, which preserve the continuous and discrete charge conservation laws, respectively. Moreover, we show that the proposed methods are convergent with temporal order one in probability. Numerical experiments are presented to verify our theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 백색 잡음 분산을 갖는 비선형 슈뢰딩거 방정식 내에서 확률적 심플렉틱 및 다중심플렉틱 구조를 식별하고 활용한다.
• 스토케스틱 PDE의 본질적인 기하학적 및 보존 성질을 유지하는 수치적 방법을 개발한다.
• 제안된 방법의 확률적 수렴 속도, 특히 시간 순서 1을 수립한다.
• 수치 실험을 통해 장기 안정성 및 보존 행동을 검증한다.

제안 방법

• 스토케스틱 미분 형식과 변분 원리를 사용하여 백색 잡음 분산을 갖는 NLS 방정식의 확률적 심플렉틱 및 다중심플렉틱 구조를 유도한다.
• 심플렉틱 구조에 기반한 두 가지 시간 반디스크리티제이션—중점법 및 리 분할 방법—을 제안하며, 전하 보존과 심플렉틱성을 보장한다.
• 중점법에 공간 중심 차분을 적용하여 전면 디스크리티제이션을 구성함으로써 이산 전하 보존 법칙과 확률적 다중심플렉틱 구조를 모두 유지하는 방법을 도출한다.
• 스토케스틱 반군의 유니타리성과 감쇠 추정을 사용하여 잘라낸 문제에 대해 이방형 제곱 순서 1 수렴을 도출하며, 이는 원래 문제에 대해 확률적으로 순서 1임을 의미한다.
• 잘라낸 방법을 적용하여 결정론적 경우에서의 공간 디스크리티제이션 오차 추정을 스토케스틱 환경으로 확장한다.
• 기준 해를 사용하여 수치적으로 방법을 검증하고, 비심플렉틱 오일러-마르야모 방법과의 전하 보존 성능을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 백색 잡음 분산을 갖는 비선형 슈뢰딩거 방정식은 확률적 심플렉틱 및 다중심플렉틱 구조를 갖는가?
• RQ2 스토케스틱 환경에서 전하 보존과 심플렉틱성을 동시에 유지하는 수치적 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ3 이러한 심플렉틱 방법의 수렴 속도는 확률적으로 얼마인가?
• RQ4 비심플렉틱 방법과 비교해 심플렉틱 방법은 장기 시뮬레이션에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 제안된 방법은 장시간 간격 동안 분산과 비선형성의 균형을 유지하는가?

주요 결과

• 백색 잡음 분산을 갖는 비선형 슈뢰딩거 방정식은 스트로크 미분 형식을 통해 엄밀히 유도된 확률적 심플렉틱 및 다중심플렉틱 구조를 갖는다.
• 제안된 중점법 및 리 분할 방법은 이산 전하 보존 법칙과 확률적 심플렉틱 구조를 유지하여 수치 적분에서 기하학적 충실도를 보장한다.
• 잘라낸 스토케스틱 반군 분석을 통해 초기 자료가 $H^{s+10}$인 경우(중점법) 및 $H^{s+4}$인 경우(리 분할)에 대해 $s > \frac{1}{2}$일 때 확률적으로 시간 순서 1을 달성함을 증명하였다.
• 전면 디스크리티제이션된 다중심플렉틱 방법은 이산 확률적 다중심플렉틱 보존 법칙과 전하 보존 법칙을 모두 유지한다.
• 수치 실험은 이론적 수렴 속도가 확률적으로 약 1임을 확인하였으며, 두 방법에 대해 수렴 곡선의 기울기가 거의 1에 가까운 것으로 나타났다.
• 심플렉틱 방법은 전하 보존을 정확히 유지하는 데서 뛰어난 장기적 행동을 보였고, 비심플렉틱 오일러-마르야모 방법은 전하 보존에서 점점 커지는 전역 오차를 보였다.