[논문 리뷰] Stochastic Target Games and Dynamic Programming via Regularized Viscosity Solutions

Bruno Bouchard, Marcel Nutz|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 22.

Stochastic processes and financial applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모델 불확실성 하에서 한 명의 플레이어가 적대적 제어에 대비하여 거의 확실하게 목표를 달성하도록 보장해야 하는 확률적 목표 게임에 대해 기하학적 동적계획법 원리(Geometric Dynamic Programming Principle)를 개발한다. 이를 통해 부드러운 초해결(solution)을 기반으로 한 새로운 정규화 기반 접근법을 제안하여 가측적인 거의 최적의 마코프 전략을 구성함으로써, 비선형 편미분방정식(PDE)의 유일한 유계 병렬해(solution)로 가치 함수를 특성화한다.

ABSTRACT

We study a class of stochastic target games where one player tries to find a strategy such that the state process almost-surely reaches a given target, no matter which action is chosen by the opponent. Our main result is a geometric dynamic programming principle which allows us to characterize the value function as the viscosity solution of a non-linear partial differential equation. Because abstract mea-surable selection arguments cannot be used in this context, the main obstacle is the construction of measurable almost-optimal strategies. We propose a novel approach where smooth supersolutions are used to define almost-optimal strategies of Markovian type, similarly as in ver-ification arguments for classical solutions of Hamilton--Jacobi--Bellman equations. The smooth supersolutions are constructed by an exten-sion of Krylov's method of shaken coefficients. We apply our results to a problem of option pricing under model uncertainty with different interest rates for borrowing and lending.

연구 동기 및 목표

• 적대적 제어 하에서 거의 확실하게 목표를 달성해야 하는 확률적 목표 게임에 대해 기하학적 동적계획법 원리(Geometric Dynamic Programming Principle, GDP)를 수립하는 것.
• 비마코프, 비분리 전략 공간에서의 가측적인 거의 최적의 전략을 구성하는 데서 발생하는 근본적 과제를 극복하는 것.
• 크릴로프의 계수 진동 기법(Krylov’s shaking of coefficients)을 사용한 새로운 정규화 기법을 개발하여 부드럽고 균일하게 유계된 초해결을 구성함으로써 마코프 전략을 생성하는 것.
• 비선형 허밀토니안-자비-벨만(Hamilton–Jacobi–Bellman) 방정식의 유일한 유계 병렬해로서 가치 함수를 특성화하는 것.
• 다른 빚 갚기 및 빌리는 금리가 존재하는 모델 불확실성 하에서의 옵션 가격 설정에 이 프레임워크를 적용하여 나이트의 불확실성(Knightian uncertainty)을 반영하는 것.

제안 방법

• 적대적 제어를 수반하는 확률적 목표 게임에 대해 고전적 GDP를 일반화한 기하학적 동적계획법 원리(Geometric Dynamic Programming Principle, GDP)를 도입하는 것.
• HJB 방정식의 부드러운 초해결을 기반으로 하여 정규화 절차를 통해 거의 최적의 마코프 전략을 구성하는 것.
• 크릴로프의 계수 진동 기법을 적용하여 정규성과 성장 조건을 만족하는 부드럽고 균일하게 유계된 초해결을 구성하는 것.
• 초해결의 부드러움과 균일 유계성에 기반하여 거의 최적의 전략에 대한 가측 선택의 존재를 확보하는 것.
• 제어에 대한 최소화를 포함하는 비선형 PDE의 유일한 유계 병렬해로서 가치 함수가 비선형 허밀토니안-자비-벨만 연산자의 특성임을 증명하는 것.
• 돌레앙-다드 지수를 통한 동치 측도 하에서의 초마르팅게일 추론을 사용하여 경계 조건과 가치 함수의 연속성을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가측 선택 추론이 실패할 경우, 적대적 제어를 수반하는 확률적 목표 게임에 대해 기하학적 동적계획법 원리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 전략 공간에서의 분리성 결여와 상대방 제어에 대한 비정상적인 의존성 하에서 거의 최적의 전략은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 크릴로프의 계수 진동 기법이 게임 이론적 맥락에서 부드러운 초해결을 구성하여 가측적인 마코프 전략을 도출하는 데 확장 가능한가?
• RQ4 확률적 변동성과 다른 빚 갚기 및 빌리는 금리가 존재하는 모델에서, 슈퍼 Hedge 가격의 PDE 특성은 무엇인가?
• RQ5 특히 드리프트와 변동성이 적대자에 의해 제어될 경우, 가치 함수는 나이트의 불확실성 하에서 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 가치 함수는 연속적이며, 제어에 대한 최소화를 포함하는 허밀토니안-자비-벨만 연산자의 비선형 PDE의 유일한 유계 병렬해이다.
• 제안된 정규화 프레임워크 하에서 GDP1 및 GDP2 조건을 만족하는 기하학적 동적계획법 원리(Geometric Dynamic Programming Principle, GDP)가 수립되었다.
• 크릴로프의 계수 진동 기법을 통해 구성된 부드러운 초해결은 가측적이며 마코프적인 거의 최적의 전략을 도출하여, 가측 선택 문제를 해결한다.
• 다른 빚 갚기 및 빌리는 금리가 존재하는 모델 불확실성 하에서의 슈퍼 헤징 가격은 특정한 HJB 구조를 갖는 비선형 PDE의 해로 특성화된다.
• 가치 함수는 동치 측도의 가족 하에서 초마르팅게일 성질을 만족하여 연속성과 유계성을 보장한다.
• 이 프레임워크는 드리프트와 변동성이 적대자에 의해 제어되며, 이자율이 거래 방향에 따라 달라지는 금융 문제에 적용 가능하다.