[논문 리뷰] Stochastic Theory of Quantum Mechanics

M. Godart|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 13.

Statistical Mechanics and Entropy인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 입자 궤적을 마코프 확산 과정의 표본 경로로 모델링함으로써 비상대론적 양자역학의 확률적 기초를 제안한다. 조건부 확률 밀도는 파동함수의 대체로 사용된다. 슈뢰딩거 방정식과 넬슨 방정식을 유도하여 확산 계수와 확산 계수를 결정하고, 파동함수 붕괴가 물리적 과정이 아니라 초기 조건 갱신의 산물임을 보여준다.

ABSTRACT

The stochastic theory of non-relativistic quantum mechanics presented here relies heavily upon the theory of stochastic processes, with its definitions, theorems and specific vocabulary as well. Its main hypothesis states indeed that the classical trajectories of the particles are identical to the sample functions of a diffusion Markov process, whose conditional probability density is proposed as a substitute for the wave function. The Schroedinger equation and the so-called Nelson equations are used to determine the diffusion tensor and the drift vectors characteristic of such a process. It is then possible to write down the forward and backward Kolmogorov equations that are used to determine the conditional probability density, as well as the Fokker-Planck equation that is used to determine the normal probability density. This method is applied to several simple cases and the results obtained are compared with those of the orthodox theory. Among the most important differences let us mention that any system evolving freely from any original state returns spontaneously to its ground state, that the definitions of the particles velocities and momenta are impossible because the sample functions of a diffusion Markov process nowhere possess a derivative with respect to time and that the so-called collapse of the wave function is a mere mirage explained by the updating choice between new and older initial conditions in the resolution of partial differential equations. We finally attempt to extend the proposed theory to the domain of the relativistic quantum mechanics. It is promising but is clearly unfinished because it has not been possible up to now to solve the Nelson and Kolmogorov equations, except in the very simple case of a free particle.

연구 동기 및 목표

• 비상대론적 양자역학을 마코프 확산 과정을 기반으로 하는 확률적 과정으로 재구성하는 것.
• 파동함수를 마코프 확산 과정에서 유도된 조건부 확률 밀도로 대체하는 것.
• 확률적 역학에서 슈뢰딩거 방정정과 넬슨 방정식을 유도하고, 기존 양자역학과의 일致성을 검증하는 것.
• 측정 과정, 특히 파동함수 붕괴를 부분 미분 방정식의 초기 조건 갱신의 결과로 재해석하는 것.
• 이론적 틀을 상대론적 양자역학으로 확장하는 것. 다만 확장은 아직 완료되지 않음.

제안 방법

• 입자 궤적을 마코프 확산 과정의 표본 함수로 모델링하고, 조건부 확률 밀도를 파동함수의 대체로 사용한다.
• 슈뢰딩거 방정식과 넬슨의 확률적 역학을 사용하여 과정의 이동 벡터와 확산 텐서를 결정한다.
• 조건부 확률 밀도의 시간 진화를 기술하기 위해 전진 및 후진 코모고로프 방정식을 유도한다.
• 프로세스의 정규(마진) 확률 밀도를 결정하기 위해 포커-플랭크 방정식을 적용한다.
• 간단한 양자 시스템(예: 자유 입자, 조화 진동자)에 이 틀을 적용하고 표준 양자 이론과 결과를 비교한다.
• 확률적 형식을 상대론적 양자역학으로 일반화하려 시도하지만, 일반적인 해는 아직 해결되지 않아 자유 입자 경우를 제외하고는 해결되지 않음.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비상대론적 양자역학은 마코프 확산 기반의 확률적 과정 틀에서 일관되게 유도될 수 있는가?
• RQ2 슈뢰딩거 방정식과 넬슨 방정식은 어떤 방식으로 확률적 과정의 역학에서 유도되는가?
• RQ3 이 확률 모델 내에서 파동함수 붕괴의 물리적 해석은 무엇인가?
• RQ4 왜 이 확률 모델에서 궤적의 시간 도함수가 존재하지 않으며, 속도와 운동량을 정의하는 데 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 확률적 형식을 상대론적 양자역학으로 확장하는 것은 가능한가? 주요 장애물은 무엇인가?

주요 결과

• 확률 과정의 조건부 확률 밀도는 양자역학에서 파동함수의 직접적인 대체로 기능한다.
• 슈뢰딩거 방정식과 넬슨 방정식은 확률적 역학의 결과로 도출되며, 양자 행동이 확산 과정과 연결됨을 보여준다.
• 확률 모델에서는 임의의 초기 상태에서 자유롭게 진화하는 어떤 시스템도 자동으로 기본 상태로 되돌아오는 경향이 있으며, 이는 표준 양자역학에서는 관찰되지 않는 행동이다.
• 표본 경로가 거의 확실히 곳곳에서 미분 가능하지 않기 때문에 입자의 속도와 운동량을 정의할 수 없다.
• 파동함수 붕괴는 물리적 과정이 아니라 부분 미분 방정식의 해를 구할 때 초기 조건을 갱신하는 수학적 결과로 설명된다.
• 상대론적 양자역학으로의 확장은 이론적으로 유망하지만 아직 완료되지 않아, 자유 입자 경우를 제외한 일반적인 해는 존재하지 않는다.