[논문 리뷰] Stochastic variational principles for dissipative equations with advected quantities

Xin Chen, Ana Bela Cruzeiro외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 16.

Stochastic processes and financial applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 리 군 위의 스토케스틱 시스템으로의 라그랑주 대칭 축소를 확장하여, 수송되는 양을 가진 소산성 유체 방정식을 위한 확률적 변분 원리를 개발한다. 열역학적 가정 없이 순수하게 변분 원리와 확률적 원리로부터 압축성 라우지에르-노이만 방정식과 자기유체역학 방정식을 유도하며, 보존된 양과 점성 및 수송되는 동역학 간의 관계를 연결하는 스토케스틱 켈빈-노에터 정리를 수립한다.

ABSTRACT

This paper presents symmetry reduction for material stochastic Lagrangian systems with advected quantities whose configuration space is a Lie group. Such variational principles yield deterministic as well as stochastic constrained variational principles for dissipative equations of motion in spatial representation. The general theory is presented for the finite dimensional situation. In infinite dimensions we obtain partial differential equations and stochastic partial differential equations. When the Lie group is, for example, a diffeomorphism group, the general result is not directly applicable but the setup and method suggest rigorous proofs valid in infinite dimensions which lead to similar results. We apply this technique to the compressible Navier-Stokes equation and to magnetohydrodynamics for charged viscous compressible fluids. A stochastic Kelvin-Noether theorem is presented. We derive, among others, the classical deterministic dissipative equations from purely variational and stochastic principles, without any appeal to thermodynamics.

연구 동기 및 목표

• 수송되는 양을 가진 스토케스틱 라그랑주 시스템을 대칭 축소를 통해 기하학적 프레임워크로 개발하기.
• 변분 원리를 확장하여 유체역학에서 소산성과 노이즈를 포함하기.
• 압축성 유체 및 자기유체역학을 위한 결정론적 및 스토케스틱으로 축소된 방정식 유도하기.
• 보존된 순환과 점성 및 수송되는 항 간의 관계를 연결하는 스토케스틱 켈빈-노에터 정리 수립하기.
• 열역학적 논증에 의존하지 않고 고전적 유체 방정식을 변분 원리로부터 복원하기.

제안 방법

• 수송되는 양을 가진 시스템을 위한 왼쪽 불변 라그랑주 함수를 사용하여 리 군 위에서 스토케스틱 변분 원리 수립.
• 스포atial 표현에서 스토케스틱 옐러-파이오코프 방정식을 유도하기 위해 피앙카레의 제약된 변분 원리 적용.
• 리 군 위의 벡터장에 의해 구동되는 다중성 노이즈를 가진 스트라토노비치 미적분을 통해 스토케스틱 과정 도입.
• 스토케스틱 흐름 하에서 순환 적분의 진화를 추적하여 스토케스틱 켈빈-노에터 정리 유도.
• 리 대수의 동형과 쌍대 작용을 사용하여 운동량과 수송되는 밀도로 방정식 표현.
• 이 프레임워크를 압축성 라우지에르-노이만 및 자기유체역학에 적용하여 점성 항이 스토케스틱성과 대칭성에서 유래됨을 규명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 열역학적 가정 없이도 스토케스틱 변분 원리를 사용하여 소산성 유체 방정식을 유도할 수 있는가?
• RQ2 라그랑주 프레임워크에서의 노이즈가 운동 방정식에 점성 항을 어떻게 유도하는가?
• RQ3 소산성과 노이즈가 존재하는 상황에서 유체 순환에 대한 스토케스틱 켈빈-노에터 정리의 대응은 무엇인가?
• RQ4 리 군 위에서의 대칭 축소를 압축성 흐름과 같은 무한차원 시스템으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 수송되는 양은 스토케스틱 유체역학에서 기하학적으로 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 내부 에너지 밀도의 형태 외에 열역학적 입력 없이도, 압축성 라우지에르-노이만 방정식이 스토케스틱 변분 원리로부터 도출된다.
• 라우지에르-노이만 방정식의 점성 항은 스토케스틱 옐러-파이오코프 방정식의 드리프트 항으로 자연스럽게 나타나며, 특히 부피 점성 항 ∇div u 로 표현된다.
• 스토케스틱 켈빈-노에터 정리가 수립되어, 순환 적분이 수송되는 양과 점성력이 포함된 스토케스틱 미분 방정식에 따라 진화함을 보여준다.
• 일반적인 리 군에 대해 스토케스틱 옐러-파이오코프 방정식이 도출되었으며, 라그랑주 함수와 리 대수 작용을 통해 드리프트 및 확산 항의 명시적 표현이 제공된다.
• 이 방법은 자기유체역학에 적용 가능하여, 전하를 띤 점성 압축성 유체에 대한 스토케스틱 방정식을 도출한다.
• 이 프레임워크는 노이즈, 소산성, 보존 법칙을 하나의 변분 원리로 통합하는 기하학적, 변분적 기초를 제공한다.