[논문 리뷰] Stochastic Volterra Equations in Banach Spaces and Stochastic Partial Differential Equations

Xicheng Zhang|ArXiv.org|2008. 12. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특이 핵을 가진 2-매끄러운 바나흐 공간에서의 확률적 볼테라 적분방정식에 대해 존재성, 유일성 및 대 deviations 원리(LDP)를 확립하며, 이를 분수 브라운 운동과 브라운 운동에 의해 구동되는 반선형 SPDE에 적용한다. 국소 리프시츠 조건 하에서 유일한 최대 강해가 존재함을 증명하고, 변분 표현을 통해 2차원 스토크스 방정식의 명시적 비용 함수를 가진 LDP를 도출한다.

ABSTRACT

In this paper, we first study the existence-uniqueness and large deviation estimate of solutions for stochastic Volterra integral equations with singular kernels in 2-smooth Banach spaces. Then, we apply them to a large class of semilinear stochastic partial differential equations (SPDE) driven by Brownian motions as well as by fractional Brownian motions, and obtain the existence of unique maximal strong solutions (in the sense of SDE and PDE) under local Lipschitz conditions. Lastly, high order SPDEs in a bounded domain of Euclidean space, second order SPDEs on complete Riemannian manifolds, as well as stochastic Navier-Stokes equations are investigated.

연구 동기 및 목표

• 특이 핵을 가진 확률적 볼테라 방정식이 2-매끄러운 바나흐 공간에서 연속 경로 해의 존재성, 유일성 및 경로 연속성을 확보한다.
• 소음이 작은 경우에 이러한 방정식에 대해 프리드린-웬츠 타입의 대 deviations 원리(LDP)를 도출한다.
• 추상적 결과를 브라운 운동과 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 광범위한 반선형 SPDE의 클래스에 적용한다.
• 유계 영역과 리만 다양체 위에서의 SPDE에 대해 국소 리프시츠 조건 하에서 유일한 최대 강해의 존재성을 증명한다.
• 변분 방법을 통해 2차원 스토크스 방정식의 LDP를 명시적 비용 함수로 확립한다.

제안 방법

• 기능의 라플라스 변환에 대한 변분 표현 공식에 기반한 약한 수렴 접근법을 사용한다.
• 부에-두퓌아 변분 공식과 그 간소화된 증명을 적용하여 최소한의 모멘트 추정으로 LDP를 도출한다.
• 스토크래틱 적분과 BDG 유형 부등식을 잘 정의하기 위해 2-매끄러운 바나흐 공간 내에서 작업한다.
• 상수의 변화 공식을 사용하여 SPDE를 확률적 볼테라 적분 방정식으로 재구성한다.
• 시간 이산화와 그로울랄 불등식을 사용하여 해의 노름을 제어하고 연속성을 증명한다.
• 국소 비선형 보간 보조정리를 사용하고 경로 기반 추정을 통해 국소 리프시츠 계수를 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이 핵을 가진 확률적 볼테라 방정식이 2-매끄러운 바나흐 공간에서 연속 경로 해의 존재성과 유일성을 확보할 수 있는가?
• RQ2 소음이 작은 점근적 행동을 지배하는 대 deviations 원리는 무엇인가?
• RQ3 이 추상적 프레임워크는 브라운 운동과 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 SPDE에 적용될 수 있는가?
• RQ4 유계 영역과 리만 다량체 위에서의 반선형 SPDE는 국소 리프시츠 조건 하에서 유일한 최대 강해를 갖는가?
• RQ5 다중성 노이즈에 의해 구동되는 2차원 스토크스 방정식의 대 deviations 비용 함수는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 특이 핵을 가진 확률적 볼테라 방정식이 2-매끄러운 바나흐 공간에서 해의 존재성과 경로 연속성을 증명한다.
• 변분 표현을 통해 프리드린-웬츠 타입의 대 deviations 원리(LDP)가 도출되며, 오직 모멘트 추정만 요구한다.
• 이 프레임워크는 국소 리프시츠 조건 하에서 브라운 운동에 의해 구동되는 SPDE에 대해 유일한 최대 강해를 도출한다.
• 이 방법은 R^d의 유계 영역에서 고차수 SPDE와 완전한 리만 다량체 위의 2차 SPDE에 적용 가능하다.
• 2차원 스토크스 방정식의 경우, LDP는 비용 함수 $ I(f) = \frac{1}{2} \inf_{h \in \ell^2_T} \|h\|^2_{\ell^2_T} $ 와 함께 성립하며, 여기서 $ f = \mathbf{u}^h $ 는 제어된 방정식의 해이다.
• 해의 폭발이 일어나지 않음을 증명하였고, $ \lim_{n \to \infty} \sup_{\epsilon \in (0,1)} P(\tau_n^\epsilon \leq T) = 0 $ 의 극한은 경로 기반 점근적 안정성을 확인한다.