[논문 리뷰] Stopped diffusion processes: Overshoots and Boundary correction

Emmanuel Gobet, Stéphane Menozzi|arXiv (Cornell University)|2007. 06. 27.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 시간에 의존하는 영역 내 이산적으로 정지된 확산 과정에서의 퇴출 시간, 퇴출 위치 및 오버슈트에 대한 渐近 전개를 유도한다. 이러한 전개를 통해 약한 오차를 분석하고 도메인 변화에 대한 딜리클레 문제의 민감도를 활용하여, 수치적 방법의 수렴 속도를 향상시키는 도메인 제한 기법을 제안한다.

ABSTRACT

For a stopped diffusion process in a time dependent domain, we obtain the asymptotics of the triplet exit time/exit position/overshoot for the discretely stopped Euler scheme. Here, the overshoot means the distance to the boundary of the process when it exits the domain. As a first consequence of this result, we obtain an expansion for the weak error. From the expansion and the sensitivity of the underlying Dirichlet problem with respect to the domain, we finally derive a procedure to improve the convergence by suitably restraining the domain.

연구 동기 및 목표

• 시간에 의존하는 영역에서 이산적으로 정지된 확산 과정의 퇴출 시간, 퇴출 위치 및 오버슈트의 渐近적 행동을 분석하는 것.
• 시간에 의존하는 영역에서 옐러 방법의 약한 오차 전개를 도출하는 것.
• 도메인 변화에 대한 딜리클레 문제의 민감도를 활용하여 오차 보정하는 것.
• 수치적 방법의 수렴 속도를 향상시키는 도메인 제한 절차를 개발하는 것.

제안 방법

• 정지된 확산 과정의 옐러 방법에서 퇴출 시간, 퇴출 위치 및 오버슈트의 삼중조에 대한 渐近 전개를 유도한다.
• 약한 오차 전개를 사용하여 시간에 의존하는 영역에서 이산화 오차를 정량화한다.
• 도메인 변화에 대한 딜리클레 문제의 해에 대한 민감도를 분석한다.
• 민감도 분석에 기초하여 적절히 도메인을 제한함으로써 보정 메커니즘을 구축한다.
• 도메인 제한을 적용하여 약한 오차를 감소시키고 수렴 차수를 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 의존하는 영역에서 이산적으로 정지된 옐러 방법에 대해 퇴출 시간, 퇴출 위치 및 오버슈트는 어떻게 渐近적으로 행동하는가?
• RQ2 이 맥락에서 옐러 방법의 약한 오차 전개의 구조는 무엇인가?
• RQ3 소규모 도메인 변화에 대해 딜리클레 문제의 해는 어떻게 반응하는가?
• RQ4 도메인 제한을 사용하여 약한 오차를 보정하고 수렴성을 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 오버슈트, 퇴출 시간 및 퇴출 위치는 정지된 확산 과정의 옐러 방법에서 잘 정의된 渐近 전개를 갖는다.
• 옐러 방법의 약한 오차는 도메인의 기하학적 구조와 시간 의존성에 따라 정밀하게 전개된다.
• 딜리클레 문제의 도메인 변화에 대한 민감도는 오차 보정을 위한 정량적 근거를 제공한다.
• 수치적 방법의 수렴 속도를 향상시키는 도메인 제한 절차가 도출된다.