[논문 리뷰] Strange duality and the Hitchin/WZW connection

Prakash Belkale|ArXiv.org|2007. 05. 04.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 곡선 위의 벡터(bundle)의 모듈리 공간 위의 선다발(global sections) 공간 간의 이상 이중성(map)의 사영적 평탄성을 증명한다. 이는 출처에 히친(Hitchin) 및 WZW 연결을 사용하고, 대상에 갈로아 코버 기반의 구성법을 적용한다. 핵심 결과는 이상 이중성 지ap이 사영적으로 평탄하다는 것이며, 이는 사영적 단일화군(projective monodromy groups)이 일치하고, 일반적인 경우를 통해 모든 곡선에 대한 이상 이중성의 새로운 증명을 제공한다.

ABSTRACT

For a compact Riemann surface X of positive genus, the space of sections of certain theta bundle on moduli of bundles of rank r and level k admits a natural map to (the dual of) a similar space of sections of rank k and level r (the strange duality isomorphism). Both sides of the isomorphism carry projective connections as X varies in a family. We prove that this map is (projectively) flat.

연구 동기 및 목표

• 반순수 벡터(bundle)의 모듈리 공간 위의 선다발(global sections)의 전역 단면(global sections) 간 이상 이중성 지ap의 사영적 평탄성을 확립한다.
• 갈로아 코버 $ SU_X(k) \times \overline{J}(X) \to U_X^*(k) $ 를 이용하여 공간 $ H^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r) $ 에 사영 연결(projective connection)을 정의한다.
• 이상 이중성 지ap $ SD: \mathcal{V}^* \to \mathcal{W} $ 가 사영적으로 평탄하다는 것을 보여주어 기하학적 및 표현론적 구조를 통합한다.
• 벡터(bundle) $ \mathcal{V} $ 와 $ \mathcal{W} $ 의 사영적 단일화군(projective monodromy groups)이 곡선의 모듈리 스택 위에서 일치함을 보인다.

제안 방법

• 등각(field) 이론에 의해 사영적으로 평탄하다는 것이 알려진 $ H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) $ 에서 히친/WZW 연결을 사용한다.
• 커버링 군이 아벨 군의 $ k $- torsion 점들인 갈로아 코버 $ SU_X(k) \times \overline{J}(X) \to U_X^*(k) $ 를 통해 $ H^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r) $ 에 사영 연결을 구성한다.
• 가운데 곡선의 가속화된 가족 $ \mathcal{X} \to S $ 에서 이상 이중성 지ap $ SD $ 를 전역화하여, 스칼라 곱으로 정의될 수 있고 사영적으로 평탄하다는 것을 보인다.
• 표준 단면 $ \theta(r,k) \in H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) \otimes H^0(SU_X(k), \mathcal{L}^r) \otimes H^0(\overline{J}(X), \mathcal{M}^{kr}) $ 이 텐서 곱 지ap을 통해 $ \theta(kr,1) $ 의 이미지임을 분석한다.
• 사영 연결 이론을 적용: 만약 어떤 단면이 사영적으로 평탄하면, 해당 단면에 의해 유도된 쌍대 벡터(bundle) 간의 지ap 역시 사영적으로 평탄하다는 것을 보인다.
• 레마 A.1 을 사용하여 이상 이중성 지ap의 계수(rank)가 국소적으로 일정하다는 것을 보이고, 레마 A.2 를 사용하여 단면의 평탄성과 유도된 지ap의 평탄성 간의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가운데 곡선의 가족을 따라 변할 때, 이상 이중성 지ap $ SD: H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k)^* \to H^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r) $ 는 사영적으로 평탄한가?
• RQ2 갈로아 코버 $ SU_X(k) \times \overline{J}(X) \to U_X^*(k) $ 를 사용하여 $ H^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r) $ 에 사영 연결을 정의할 수 있는가?
• RQ3 이상 이중성 지ap의 사영적 평탄성이 원천 및 대상 벡터(bundle)의 사영적 단일화군이 일치함을 의미하는가?
• RQ4 모든 $ m $ 에 대해 $ \theta(m,1) \in H^0(SU_X(m), \mathcal{L}) \otimes H^0(\overline{J}(X), \mathcal{M}^m) $ 의 사영적 평탄성은 이상 이중성 지ap과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 이상 이중성 지ap $ SD: \mathcal{V}^* \to \mathcal{W} $ 는 기저 $ S $ 에서의 벡터(bundle) 지점 간의 사영적 평탄성을 가지며, $ \mathcal{V} $ 와 $ \mathcal{W} $ 는 사영 연결을 지닌다.
• 모듈리 스택의 종수 $ g $ 의 곡선 위에서 $ \mathcal{V} $ 와 $ \mathcal{W} $ 의 사영적 단일화군이 일치한다.
• 지ap $ SD $ 는 동형사상이며, 그 사영적 평탄성은 모든 곡선에 대한 이상 이중성의 새로운 증명을 제공한다. 이는 일반 곡선의 경우에 알려진 결과로 귀결된다.
• $ \theta(r,k) \in H^0(SU_X(r), \mathcal{L}^k) \otimes H^0(SU_X(k), \mathcal{L}^r) \otimes H^0(\overline{J}(X), \mathcal{M}^{kr}) $ 는 곡선의 가족을 따라 사영적으로 평탄하다.
• $ H^0(U_X^*(k), \mathcal{M}^r) $ 에 사영 연결은 갈로아 코버 $ SU_X(k) \times \overline{J}(X) \to U_X^*(k) $ 를 통해 정의되며, 커버링 군이 헤이젠베르크 대칭을 통해 작용한다.
• 모든 $ m $ 에 대해 $ \theta(m,1) \in H^0(SU_X(m), \mathcal{L}) \otimes H^0(\overline{J}(X), \mathcal{M}^m) $ 의 평탄성이 확립되었으며, 이는 주요 결과의 기초가 된다.