[논문 리뷰] Stream Processors and Comodels

Matthieu Anel|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 26.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 8인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 미분가환(graded)(co)대수에 대한 스위들러 이론을 개발하며, dg-(co)대수의 범주가 대칭 모나드 닫힘 구조를 지니고 있음을 증명하고, dg-대수가 이에 대해 강화되고, 곱지고, 쌍대곱지음을 보임을 보여준다. 주요 기여는 스위들러의 보편 측정(co)대수, 콘볼루션 대수, 스위들러 곱을 체계적으로 정의하여, 바-카보르 구조와 같은 조임을 범주론적 틀에서 통합하고 일반화하는 데 있다.

ABSTRACT

In 2009, Ghani, Hancock and Pattinson gave a coalgebraic characterisation of stream processors A^ℕ → B^ℕ drawing on ideas of Brouwerian constructivism. Their stream processors have an intensional character; in this paper, we give a corresponding coalgebraic characterisation of extensional stream processors, i.e., the set of continuous functions A^ℕ → B^ℕ. Our account sites both our result and that of op. cit. within the apparatus of comodels for algebraic effects originating with Power-Shkaravska.

연구 동기 및 목표

• dg-(co)대수의 범주에 대칭 모나드 닫힘 구조를 수립하기 위해.
• dg-대수가 dg-(co)대수 위에서 강화되고, 곱지고, 쌍대곱지음을 보임을 보여주기 위해.
• dg-대수에서의 강화된 호모지엄 {A, B}를 스위들러의 보편 측정(co)대수로 형식화하기 위해.
• 스위들러 곱과 콘볼루션 대수 연산을 통해 바-카보르 수축 조임을 일반화하기 위해.
• dg-범주 위에서의 호모토피적 구성에 대한 범주론적 기초를 제공하고, 특히 dg-범주 위에서의 대수적 구조에 초점을 맞추기 위해.

제안 방법

• 미분가환 구조와 호환되는 곱셈을 지닌 dg-벡터 공간과 dg-대수를 정의하기 위해.
• 스위들러의 보편 측정(co)대수로 대수 준동형을 표현하는 내부 호모지엄 {A, B}를 도입하기 위해.
• 스위들러 곱 C □ A를 dg-대수에서 새로운 연산으로 구성하기 위해.
• 콘볼루션 대수 [C, A]를 사용하여 대수 A를(co)대수 C로 쌍대곱지음으로써 정의하기 위해.
• dg-대수와 dg-(co)대수 사이의 수축을 수립: C □ − ⊣ [C, −], [−, A] ⊣ {−, A}, −□A ⊣ {A, −}를 통해.
• 이 이론을 적용하여 바-카보르 수축을 이러한 스위들러 연산의 특수한 경우로 재구성하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 dg-(co)대수의 범주는 어떻게 대칭 모나드 닫힘 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ2 dg-대수의 맥락에서 스위들러의 보편 측정(co)대수의 정확한 범주론적 역할은 무엇인가?
• RQ3 스위들러 곱과 콘볼루션 대수 연산은 호모로지 대수학에서 알려진 수축들을 어떻게 통합하는가?
• RQ4 이러한 구성은 dg-대수와 dg-(co)대수에 대한 바-카보르 수축을 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 dg-대수가 dg-(co)대수 위에서의 강화, 곱지음, 쌍대곱지음 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• dg-(co)대수의 범주 (dgCoalg, ⊗, Hom)는 대칭 모나드 닫힘 구조를 지닌다.
• dg-대수의 범주 (dgAlg, {−, −}, □, [−, −], ⊗)는 dgCoalg 위에서 강화되고, 곱지고, 쌍대곱지음을 보이며, 강력한 모나드 구조를 지닌다.
• dg-대수에서의 강화된 호모지엄 {A, B}는 스위들러의 보편 측정(co)대수와 동형이다.
• (co)대수 C에 의한 대수 A의 쌍대곱지음은 콘볼루션 대수 [C, A]이다.
• A와 C의 곱지음은 새로운 연산 C □ A로, 스위들러 곱이라 불린다.
• 바-카보르 수축은 dg-대수와 dg-(co)대수 사이의 수축 C □ − ⊣ [C, −]의 특수한 경우로 재구성된다.