[논문 리뷰] Streaming Approximation Resistance of Every Ordering CSP

Noah Singer, Madhu Sudan외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

semigroups and automata theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 단일패ass 스트리밍 모델에서 모든 순서 제약 만족 문제(OCSP)가 근사 불가능함을 증명한다: 거의 모든 제약 조건이 만족 가능한 인스턴스와 무작위 순서보다 크게 우월한 순서가 존재하지 않는 인스턴스를 구분할 수 없는 o(n)-공간 알고리즘이 존재하지 않는다. 이 결과는 OCSP에서 유도된 표준 CSP의 딱딱한 인스턴스에서 도출된 새로운 분할 확장 성질을 활용하여 스트리밍 근사 불가능성 문제를 통신 복잡도 문제(IRMD)로 감소시킴으로써 증명된다.

ABSTRACT

An ordering constraint satisfaction problem (OCSP) is given by a positive integer k and a constraint predicate Π mapping permutations on {1,…,k} to {0,1}. Given an instance of OCSP(Π) on n variables and m constraints, the goal is to find an ordering of the n variables that maximizes the number of constraints that are satisfied, where a constraint specifies a sequence of k distinct variables and the constraint is satisfied by an ordering on the n variables if the ordering induced on the k variables in the constraint satisfies Π. Ordering constraint satisfaction problems capture natural problems including "Maximum acyclic subgraph (MAS)" and "Betweenness". In this work we consider the task of approximating the maximum number of satisfiable constraints in the (single-pass) streaming setting, where an instance is presented as a stream of constraints. We show that for every Π, OCSP(Π) is approximation-resistant to o(n)-space streaming algorithms, i.e., algorithms using o(n) space cannot distinguish streams where almost every constraint is satisfiable from streams where no ordering beats the random ordering by a noticeable amount. This space bound is tight up to polylogarithmic factors. In the case of MAS our result shows that for every ε > 0, MAS is not 1/2+ε-approximable in o(n) space. The previous best inapproximability result only ruled out a 3/4-approximation in o(√ n) space. Our results build on recent works of Chou, Golovnev, Sudan, Velingker, and Velusamy who show tight, linear-space inapproximability results for a broad class of (non-ordering) constraint satisfaction problems (CSPs) over arbitrary (finite) alphabets. Our results are obtained by building a family of appropriate CSPs (one for every q) from any given OCSP, and applying their work to this family of CSPs. To convert the resulting hardness results for CSPs back to our OCSP, we show that the hard instances from this earlier work have the following "small-set expansion" property: If the CSP instance is viewed as a hypergraph in the natural way, then for every partition of the hypergraph into small blocks most of the hyperedges are incident on vertices from distinct blocks. By exploiting this combinatorial property, in combination with the hardness results of the resulting families of CSPs, we give optimal inapproximability results for all OCSPs.

연구 동기 및 목표

• 모든 순서 제약 만족 문제(OCSP)에 대해 스트리밍에서의 근사 불가능성을 확립함: 최대 비순환 부분그래프(MAS) 및 최대 중간성 문제 포함.
• 기존의 o(√n)-공간 근사 불가능성 결과와 OCSP에 대한 추측된 최적의 o(n)-공간 경계 사이의 격차를 해소함.
• 모든 OCSP 가족 F에 대해, o(n)-공간 스트리밍 알고리즘은 비트리비얼 근사 비율을 달성할 수 없음을 보임.
• 새로운 분할 확장 성질을 통한 표준 CSP에서 OCSP로의 근사 불가능성 전이를 위한 일반적 프레임워크 개발.
• MAS에 대해 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결함: o(n) 공간 경계가 다항로그 인자까지 날카로운지 증명함.

제안 방법

• OCSP의 스트리밍 근사 불가능성을 인덱스 뒤집기 메시지 전달(IRMD) 문제의 통신 복잡도로 감소시킴.
• 주어진 OCSP로부터 각 알파벳 크기 q에 대해 하나의 표준 CSP 가족을 구성함으로써, 감소를 통해 딱딱한 성질 유지를 함.
• 이전의 표준 CSP 근사 불가능성 정리(CGSV24, CGS+22b)에서 유도된 딱딱한 인스턴스가 높은 확률로 '분할 확장' 성질을 갖는다고 증명함.
• 분할 확장 성질을 이용해, 임의의 작은 변수 분할에 대해 대부분의 제약 조건이 서로 다른 블록을 가로질러야 하며, 이는 유효한 스트리밍 시뮬레이션을 가능하게 함.
• 각 플레이어가 제약 조건의 부분집합을 처리하고 알고리즘 상태를 전달함으로써, T-플레이어 통신 프로토콜에서 스트리밍 알고리즘을 시뮬레이션함.
• 스트리밍 설정에서의 YES 및 NO 분포가 IRMD 분포와 일치함을 보임으로써, 이를 구분하는 데의 우위가 유지됨.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 순서 제약 만족 문제는 단일패스 스트리밍 모델에서 o(n) 공간으로 근사 불가능한가?
• RQ2 o(n) 공간 경계는 OCSP의 스트리밍 근사에 대해 다항로그 인자까지 날카로운가?
• RQ3 표준 CSP의 근사 불가능성이 분할 확장성과 같은 구조적 성질을 통해 OCSP로 이행될 수 있는가?
• RQ4 인덱스 뒤집기 메시지 전달(IRMD) 문제의 통신 복잡도 하한이 스트리밍 근사 불가능성을 암시하기에 충분한가?
• RQ5 최대 비순환 부분그래프(MAS)의 난이도는 이전의 o(√n) 공간에서의 3/4-근사 장벽을 초월할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 순서 제약 만족 문제 가족 F에 대해, Max-OCSP(F)는 o(n)-공간 스트리밍 알고리즘으로 근사 불가능함.
• o(n) 공간 경계는 다항로그 인자까지 날카로우며, MAS에 대해 (1/2 + ε)-근사도 o(n)-공간 알고리즘으로 달성할 수 없음.
• Guruswami와 Tao(2019)의 이전 o(√n)-공간 근사 불가능성 결과를 개선함: 3/4-근사도 제거함.
• 핵심 기술적 통찰은 OCSP에서 유도된 표준 CSP의 딱딱한 인스턴스가 높은 확률로 '분할 확장' 성질을 갖는다는 것임.
• 이 분할 확장 성질은 제약 조건이 작은 블록들 사이에 잘 분포되어 있음을 보장하며, 이는 스트리밍 알고리즘의 유효한 통신 복잡도 프로토콜 내 시뮬레이션을 가능하게 함.
• IRMD 문제를 통한 스트리밍에서 통신 복잡도로의 감소는 오직 s(n) ≤ τn 비트만 사용하는 1/8의 우위 프로토콜을 도출하며, s(n) = o(n)이면 알려진 통신 복잡도 하한과 모순됨.