[논문 리뷰] Stress and strain in symmetric and asymmetric elasticity

Albert Tarantola|ArXiv.org|2009. 07. 10.

Geophysics and Sensor Technology참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 변형 속도를 기본 운동학 변수로 간주하는 텐서 이론으로, 변형 텐서의 행렬 로그를 이용해 변형률을 정의한다. 이론은 GL⁺(3) 위에 기하학적 프레임워크를 도입하여 변형률을 변형 텐서의 로그로 정의함으로써 대칭(고전적) 및 비대칭(코세라) 탄성 이론을 일관되게 다룰 수 있게 하며, 핵심 결과로 변형률은 참조 상태와 지오데식적으로 연결된 구성에 대해서만 정의됨을 보여준다.

ABSTRACT

Usual introductions of the concept of motion are not well adapted to a subsequent, strictly tensorial, theory of elasticity. The consideration of arbitrary coordinate systems for the representation of both, the points in the laboratory, and the material points (comoving coordinates), allows to develop a simple, old fashioned theory, where only measurable quantities -like the Cauchy stress- need be introduced. The theory accounts for the possibility of asymmetric stress (Cosserat elastic media), but, contrary to usual developments of the theory, the basic variable is not a micro-rotation, but the more fundamental micro-rotation velocity. The deformation tensor here introduced is the proper tensorial equivalent of the poorly defined deformation "tensors" of the usual theory. It is related to the deformation velocity tensor via the matricant. The strain is the logarithm of the deformation tensor. As the theory accounts for general Cosserat media, the strain is not necessarily symmetric. Hooke's law can be properly introduced in the material coordinates (as the stiffness is a function of the material point). A particularity of the theory is that the components of the stiffness tensor in the material (comoving) coordinates are not time-dependent. The configuration space is identified to the part of the Lie group GL(3)+, that is geodesically connected to the origin of the group.

연구 동기 및 목표

• 임의의 텐서 정의에 의존하지 않는 텐서적이고 좌표 불변 탄성 이론을 개발하기 위해.
• 카우치 응력과 같은 측정 가능한 양에 기반하여 응력과 변형률의 물리적 의미를 명확히 하기 위해.
• 기본 변수로 미세 회전을 도입하지 않고도 비대칭 탄성(코세라 미디어)을 일관되게 기술하기 위해.
• 변형률을 변형 텐서의 로그로 정의하여 참조 상태와 지오데식적으로 연결된 구성에 대해서만 잘 정의됨을 보장하기 위해.
• 물질 좌표계에서의 강성 텐서가 시간에 독립적이므로 물질 기준 프레임에서의 구성 모델링을 단순화하기 위해.

제안 방법

• 실험실 및 물질(공동운동) 점에 대해 임의의 좌표계를 사용하여 텐서 불변성을 확보한다.
• 변형 속도 텐서를 GL⁺(3)에서 경로의 탄젠트로 정의한다. GL⁺(3)은 가역적인 3×3 실수 행렬의 군이다.
• 변형 텐서를 변형 속도 텐서의 시간 순서 지수함수(행렬적 매트리산트)로 정의한다.
• 변형률을 변형 텐서의 행렬 로그로 정의하여, 이 값이 GL⁺(3)의 원점과 지오데식적으로 연결된 구성에 대해서만 실수값이 되도록 보장한다.
• 지수 함수를 통해 변형률을 대칭(변형) 및 반대칭(코세라 미세 회전) 부분으로 분해한다.
• 강성 텐서를 물질 좌표의 함수로 간주하여 물질 기준 프레임에서 시간에 독립적이게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 및 비대칭 탄성에서 기하학적으로 일관되고 물리적으로 측정 가능한 방식으로 변형률을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 '변형률 속도'를 변형률의 시간 도함수로 사용하는 것이 왜 문제인지, 그리고 올바른 기본 운동학 변수는 무엇인가?
• RQ3 변형률을 정의할 때 행렬 로그의 역할은 무엇이며, 왜 일부 구성에 대해서만 실수값이 되는가?
• RQ4 시간 의존성이 없도록 물질 좌표계에서 강성 텐서를 어떻게 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ5 탄성의 구성 공간의 기하학적 의미는 무엇이며, 왜 GL⁺(3)의 지오데식적으로 연결된 성분으로 제한되는가?

주요 결과

• 변형률은 변형 텐서의 행렬 로그로 엄밀히 정의되며, 이 값은 GL⁺(3)의 지오데식적으로 연결된 성분에 속한 구성에 대해서만 실수값이 된다.
• 변형 속도 텐서가 변형률 속도가 아니라 기본 운동학 변수이며, 매트리산트(시간 순서 지수함수)를 통해 변형 텐서와 관련된다.
• 변형률 텐서의 반대칭 부분은 미세 회전 자체가 아니라 코세라 미세 회전 속도를 나타낸다.
• 변형률 텐서의 대칭 부분은 고전적 변형을 나타내며, 그 지수 함수는 표준 변형 텐서를 산출한다.
• 물질 좌표계에서의 강성 텐서는 시간에 독립적이며, 이는 물질 기준 프레임에서의 구성 모델링을 단순화한다.
• GL⁺(3)의 지오데식적으로 연결된 성분 외부의 구성은 명시적 응력 경로 λs를 통해 접근할 수 없으며, 따라서 그 곳에서는 변형률이 정의되지 않는다.