[논문 리뷰] Stress concentration for two nearly touching circular holes

Mikyoung Lim, Sanghyeon Yu|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 29.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 14인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 2차원 선형 탄성에서 두 거의 접촉하는 원형 구멍 사이의 응력 집중을 분석적으로 특성화하기 위해 새로운 특이 점근 전개 방법을 개발한다. 이론은 이중좌표계에서 응력을 표현하고, 천천히 감쇠하는 계수를 가진 푸리에 급수를 분석함으로써, 좁은 틈새에서 $\epsilon^{-1/2}$ 응력 특이성을 기술하는 명시적 함수를 유도한다. 이는 원형 구멍 케이스에 대해 이 현상의 첫 번째 완전한 분석적 특성화이다.

ABSTRACT

We consider the plane elasticity problem for two circular holes. When two holes are close to touching, the stress concentration happens in the narrow gap region. In this paper, we characterize the stress singularity between the two holes by an explicit function. A new method of a singular asymptotic expansion for the Fourier series with slowing decaying coefficients is developed to investigate the asymptotic behavior of the stress.

연구 동기 및 목표

• 두 거의 접촉하는 원형 구멍 사이의 좁은 틈새 영역에서 2차원 선형 탄성에서의 응력 특이성을 분석적으로 특성화하는 것.
• 이전 방법들이 응력장의 특이 행동을 완전히 포착하지 못하는 한계를 극복하는 것.
• 람에 시스템이 이중좌표계에서 유도하는 천천히 감쇠하는 계수를 가진 푸리에 급수에 특화된 새로운 점근 방법을 개발하는 것.
• 홀로 둘러싸인 영역 전체에 걸쳐 응력 분포, 특히 지배적인 특이 성분을 포함한 완전하고 명시적인 기술을 제공하는 것.

제안 방법

• 응력장은 두 원형 포함체 사이의 틈새가 작을 때 자연스럽게 기술되는 이중좌표계로 표현된다.
• 해는 각 변수에 대한 푸리에 급수로 전개되며, 고조파 모드가 증가함에 따라 계수가 천천히 감쇠하는 형태가 된다.
• 간격 $\epsilon \to 0$ 일 때 천천히 감쇠하는 계수를 가진 푸리에 급수의 점근적 행동을 분석하기 위해 새로운 특이 점근 전개 기법이 개발된다.
• 작은 매개변수 $s \sim \epsilon$ 이 틈새 크기를 결정하므로, 계수 $v(ns,s)$ 와 $w(ns,s)$ 의 점근 전개를 유도하는 것이 핵심이다.
• 쌍곡함수와 급수 계수의 점근적 행동을 바탕으로 응력 텐서 성분 $\sigma_{\zeta\theta}, \sigma_{\zeta\zeta}$ 가 명시적으로 유도된다.
• 분석을 통해 응력의 지배적인 특이 기여가 $\epsilon^{-1/2}$ 비례하는 특정 함수에서 비롯되며, 이는 명시적으로 확인된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 거의 접촉하는 원형 구멍 사이의 좁은 틈새에서 선형 탄성에서 응력장의 정확한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ2 푸리에 급수 계수가 천천히 감쇠할 경우 응력장의 특이 행동을 어떻게 분석적으로 포착할 수 있는가?
• RQ3 지배적인 특이 성분을 포함한 응력 집중에 대한 완전한 분석적 특성화가 달성될 수 있는가?
• RQ4 람에 상수가 응력 텐서가 구멍이 접촉에 가까워질수록 붕괴 속도를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 제안된 방법은 유사 문제에 사용된 기존 점근 방법과 어떻게 다를 수 있으며, 어떻게 향상되었는가?

주요 결과

• 응력장은 $\epsilon \to 0$ 일 때 두 원형 구멍 사이의 좁은 틈새 영역에서 $\epsilon^{-1/2}$ 특이성을 보이며, 수치적으로 관측된 붕괴 행동을 확인하고 정량화한다.
• 응력 텐서의 특이 행동을 완전히 기술하는 명시적 함수가 도출되었으며, 이는 응력 집중의 완전한 분석적 특성화를 제공한다.
• 천천히 감쇠하는 계수를 가진 푸리에 급수를 다루기 위해 새로운 특이 점근 전개 기법을 개발함으로써 이 문제에 필수적인 해결책을 제공한다.
• 응력의 지배적인 특이 기여는 $\epsilon^{-1/2}$ 스케일링 항에서 비롯되며, 이는 계수 함수의 점근 분석을 통해 명시적으로 확인되고 도출된다.
• 이 접근법은 이전 방법들, 예를 들어 Callias와 Markenscoff(1990년대)의 방법과는 근본적으로 다르며 더 포괄적이다. 이전 방법들은 경계 전개만 제공했고 내부 응력장의 특성을 완전히 기술하지 못했다.
• 분석을 통해 균일한 법선 하중 하에서 원형 구멍의 응력 특이성은 배경 재료의 람에 상수에 관계없이 일반적임을 확인하였으며, 이는 구멍이 완전히 강성 또는 빈 공간에 가까운 경우에 해당된다.