[논문 리뷰] Stress-Energy-Momentum Tensors in Lagrangian Field Theory. Part 1. Superpotentials

G. Giachetta, G. Sardanashvily|ArXiv.org|1995. 10. 30.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 27인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 프로젝터블 벡터 장에 의한 라그랑주 밀도의 리 대수의 캐논컬 분해를 사용하여 라그랑주 장 이론에서 스트레스-에너지-모멘텀 텐서의 기하학적 프레임워크를 개발한다. 다양한 레파지안 등가물과 벡터 장의 리프트가 초래하는 초위상 텐서의 차이를 보여주며, 게이지 이론과 일반 상대성 이론에서 특히 은폐된 에너지와 게이지 불변성과 관련하여 중요한 함의를 지닌다.

ABSTRACT

Differential conservation laws in Lagrangian field theory are usually related to symmetries of a Lagrangian density and are obtained if the Lie derivative of a Lagrangian density by a certain class of vector fields on a fiber bundle vanishes. However, only two field models meet this property in fact. In gauge theory of exact internal symmetries, the Lie derivative by vertical vector fields corresponding to gauge transformations is equal to zero. The corresponding Nöether current is reduced to a superpotential that provides invariance of the Nöether conservation law under gauge transformations. In the gravitation theory, we meet the phenomenon of "hidden energy". Only the superpotential part of energy-momentum of gravity and matter is observed when the general covariant transformations are exact. Other parts of energy-momentum display themselves if the invariance under general covariance transformations is broken, e.g., by a background world metric. In this case, the Lie derivatives of Lagrangian densities by vector fields which call into play the stress-energy-momentum tensors fail to be equal to zero in general. We base our analysis of differential conservation laws on the canonical decomposition of the Lie derivative of a Lagrangian density $L$ by a projectable vector field on a bundle and with respect to different Lepagian equivalents of $L$. Different Lepagian equivalents lead to conserved quantities which differ from each other in superpotential terms. We have different stress-energy-momentum tensors depending on different lifts of vector fields on a base onto a bundle. Moreover, different solutions of the same Euler-Lagrange equations may require different energy-momentum tensors. We show that different stress-energy-momentum tensors differ from each other in Nöether currents. As

연구 동기 및 목표

• 미분기하학을 사용하여 라그랑주 장 이론에서 스트레스-에너지-모멘텀 텐서의 기하학적 기원을 명확히 하기.
• 레파지안 등가물과 벡터 장의 리프트에 대한 의존성 분석을 통해 에너지-모멘텀 텐서 정의의 모호함을 해결하기.
• 초위상이 게이지 이론과 일반 상대성 이론에서 보존된 전류와 은폐된 에너지와 관련하여 수행하는 역할을 설명하기.
• 동일한 오일러-라그랑주 방정식으로부터 다양한 스트레스-에너지-모멘텀 텐서를 유도하는 체계적인 방법을 수립하기.
• 게이지 불변성과 일반 공변성이 보존된 양의 구조와 그 초위상 성분에 어떻게 영향을 미치는지 명확히 하기.

제안 방법

• 섬유다발 위의 프로젝터블 벡터 장에 沿한 라그랑주 밀도의 리 도함수의 캐논컬 분해를 사용한다.
• 라그랑주 밀도의 다양한 레파지안 등가물을 분석하여 서로 다른 보존 전류와 스트레스-에너지-모멘텀 텐서를 도출한다.
• 다른 벡터 장 리프트로부터 유도되는 대체 스트레스-에너지-모멘텀 텐서 간의 차이로 초위상을 도입한다.
• 수직 벡터 장을 가진 게이지 이론에 이 형식을 적용하여, 게이지 대칭 하에서 노터 전류가 초위상으로 줄어든다는 것을 보여준다.
• 일반 공변성을 고려한 일반 상대성 이론을 다루며, 정확한 대칭 하에서는 에너지-모멘텀의 초위상 부분만 관측 가능하다는 것을 보여준다.
• 배경 메트릭을 통해 일반 공변성을 깨뜨리면 에너지-모멘텀의 추가적인 비초위상 성분이 드러남을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라그랑주 밀도의 다양한 레파지안 등가물은 어떻게 서로 다른 스트레스-에너지-모멘텀 텐서를 초래하는가?
• RQ2 보존 전류와 리 도함수의 맥락에서 초위상의 기하학적 기원은 무엇인가?
• RQ3 일반 상대성 이론에서 에너지-모멘텀 텐서가 부분적으로만 관측 가능한 이유는 무엇이며, 초위상은 이를 어떻게 해결하는가?
• RQ4 게이지 대칭은 노터 전류가 초위상으로 줄어드는 데 어떻게 관련되는가?
• RQ5 섬유다발 위의 서로 다른 벡터 장 리프트는 결과 스트레스-에너지-모멘텀 텐서에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 동일한 오일러-라그랑주 방정식으로부터 도출된 다양한 스트레스-에너지-모멘텀 텐서는 서로 다른 레파지안 등가물에서 기인한 초위상 항의 차이로 다름을 보여준다.
• 정확한 내부 대칭을 가진 게이지 이론에서는 노터 전류가 초위상으로 줄어들며, 이는 보존 법칙의 게이지 불변성을 보장한다.
• 일반 상대성 이론에서는 정확한 일반 공변성 하에서는 에너지-모멘텀 텐서의 초위상 부분만 관측 가능하며, 대칭이 배경 메트릭에 의해 깨지면 다른 부분들이 나타난다.
• 일반 공변성이 깨졌을 때, 벡터 장에 의한 라그랑주 밀도의 리 도함수는 일반적으로 0이 되지 않으며, 초위상 외의 비자명한 기여를 초래한다.
• 이 형식은 동일한 물리적 시스템에 대해 벡터 장 리프트와 레파지안 등가물의 선택에 따라 다수의 일관된 스트레스-에너지-모멘텀 텐서가 존재할 수 있음을 보여준다.
• 이 프레임워크는 중력에서의 '은폐된 에너지' 현상을 초위상 구조와 대칭 깨짐의 결과로 설명한다.