[논문 리뷰] Strict Ideal Completions of the Lambda Calculus

Patrick Bahr|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 3인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 메트릭 완비화 대신 이상 완비화를 기반으로 한 무한항 람다 계산을 제안하며, Kennaway 등이 제시한 메트릭 기반 계산의 보존적 확장이다. 무한한 ⊥-규칙 대신 두 가지 정확한 엄격성 규칙인 λx.⊥→⊥ 및 ⊥M→⊥을 도입함으로써, 특수한 발산 처리 없이도 무한항 정규화와 결합성을 달성하며, 정규형은 Böhmi 유사 트리와 일치한다.

ABSTRACT

The infinitary lambda calculi pioneered by Kennaway et al. extend the basic lambda calculus by metric completion to infinite terms and reductions. Depending on the chosen metric, the resulting infinitary calculi exhibit different notions of strictness. To obtain infinitary normalisation and infinitary confluence properties for these calculi, Kennaway et al. extend beta-reduction with infinitely many `bot-rules', which contract meaningless terms directly to bot. Three of the resulting Böhm reduction calculi have unique infinitary normal forms corresponding to Böhm-like trees. In this paper we develop a corresponding theory of infinitary lambda calculi based on ideal completion instead of metric completion. We show that each of our calculi conservatively extends the corresponding metric-based calculus. Three of our calculi are infinitarily normalising and confluent; their unique infinitary normal forms are exactly the Böhm-like trees of the corresponding metric-based calculi. Our calculi dispense with the infinitely many bot-rules of the metric-based calculi. The fully non-strict calculus (called 111) consists of only beta-reduction, while the other two calculi (called 001 and 101) require two additional rules that precisely state their strictness properties: lambda x.bot -> bot (for 001) and bot M -> bot (for 001 and 101).

연구 동기 및 목표

• 메트릭 완비화 대신 이상 완비화를 사용하여 무한항 람다 계산을 개발한다.
• Böhmi 감소에서 무한한 ⊥-규칙의 필요성을 제거하기 위해 엄격성을 정확히 포착하는 두 가지 규칙을 도입한다.
• 메트릭 기반 계산의 보존적 확장을 유지하면서도 무한항 정규화와 결합성을 유지한다.
• 이상 완비화가 전체 항에 대해 메트릭 완비화와 동일한 무한항 및 극한을 유도함을 보인다.
• 새로운 계산의 유일한 정규형이 정확히 Böhmi 유사 트리와 일치함을 확립한다.

제안 방법

• 엄격성에 대한 정보를 담은 삼중조합 (a,b,c)로 매개변수화된 유한 람다 항에 대한 부분순서 ≤a⊥을 정의한다.
• (Λ⊥, ≤a⊥)의 방향성 있고 상계가 존재하는 부분집합들의 집합인 이상 완비화 ΛI,a⊥를 구성하며, 이는 완전한 준순서집합을 이룬다.
• 유도된 초거리공간의 등장성에 의해, 이상 완비화가 동일한 메트릭에서 무한항을 유도함을 보이며, 이는 등거리성에 의해 증명된다.
• β-감소와 두 엄격성 규칙인 λx.⊥→⊥ (001용) 및 ⊥M→⊥ (001 및 101용)을 기반으로 한 무한대 추상 감소 체계를 도입한다.
• 이상 완비화에서의 하한 극한이 전체 항에 대해 메트릭 극한과 일치함을 보이며, 보존적 확장을 보장한다.
• 구조적 귀납법과 위치 분석(위치 함수 P(M) 및 높이 함수를 통한)을 사용하여 ⇓d_a(I)의 유한성과 수렴 성질을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메트릭 완비화 없이 이상 완비화를 사용하여 무한항 람다 계산을 구성할 수 있는가? 이때 결합성과 정규화와 같은 핵심 성질을 유지할 수 있는가?
• RQ2 메트릭 기반 Böhmi 감소에서 무한한 ⊥-규칙 집합을 엄격성을 정확히 포착하는 유한한 규칙 집합으로 대체할 수 있는가?
• RQ3 이상 완비화 계산이 항의 구조 및 수렴성 측면에서 해당 메트릭 기반 계산을 보존적으로 확장하는가?
• RQ4 이상 완비화 계산의 유일한 정규형은 알려진 Böhmi 유사 트리들(예: Böhm, Levy-Longo, Berarducci 트리)과 동치인가?
• RQ5 메트릭 기반 ⊥-규칙 없이도, 단지 구조적 규칙만을 사용하여 001 및 101 계산에서 무한항 결합성을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 부분순서 ≤a⊥에 대한 람다 계산의 이상 완비화는 해당 메트릭 완비화와 동일한 무한항 집합을 유도한다.
• 이상 완비화에 대한 초거리공간 da_I는 메트릭 완비화 (da, ΛM,a⊥)와 등거리이며, 전체 항에 대해 동일한 수렴 행동을 보장한다.
• 이상 완비화 기반 계산은 메트릭 기반 계산을 보존적으로 확장하며, ⊥을 포함하지 않는 항에 대해 동일한 극한을 가진다.
• 001, 101, 111 계산은 β-감소와 두 엄격성 규칙인 λx.⊥→⊥ 및 ⊥M→⊥만을 사용하여 무한항 결합성과 정규화를 달성한다.
• 이 계산의 유일한 정규형은 정확히 Böhmi 유사 트리와 일치한다: Böhm 트리(111), Levy-Longo 트리(001), Berarducci 트리(101).
• 증명 과정에서 모든 이상 I에 대해 ⇓d_a(I)가 유한함을 보이며, 이는 등거리성과 수렴 결과에 있어 핵심적인 역할을 한다.