[논문 리뷰] Strict unimodality of q-polynomials of rooted trees

Zhiyun Cheng, Sujoy Mukherjee외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 14.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 엄격히 단조증가하는 q다항식을 가진 뿌리가 있는 트리들을 분류하며, 사다리꼴 형태의 조건을 제시하고, Pak과 Panova의 q이항계수에 대한 결과를 일반화한다. 엄격히 단조증가하는 q다항식은 정확히 특정한 뿌리가 있는 트리의 구조에서 유래하며, plucking 다항식은 감소된 트리의 간선 수를 유일하게 결정함을 증명한다. 그러나 서로 동형이 아닌 여러 트리가 동일한 다항식을 가질 수 있다.

ABSTRACT

We classify rooted trees which have strictly unimodal q-polynomials (plucking polynomial). We also give criteria for a trapezoidal shape of a plucking polynomial. We generalize results of Pak and Panova on strict unimodality of q-binomial coefficients. We discuss which polynomials can be realized as plucking polynomials and whether or not different rooted trees can have the same plucking polynomial.

연구 동기 및 목표

• 뿌리가 있는 트리 중 plucking 다항식이 엄격히 단조증가하는 것들을 분류하는 것.
• plucking 다항식이 사다리꼴 형태를 띠는 조건을 제공하는 것.
• Pak과 Panova의 q이항계수에 대한 엄격한 단조증가성 결과를 일반화하는 것.
• 어떤 다항식이 뿌리가 있는 트리의 plucking 다항식으로 실현 가능한지 조사하는 것.
• 서로 다른 뿌리가 있는 트리들이 동일한 plucking 다항식을 가질 수 있는지 결정하는 것.

제안 방법

• 평면 뿌리가 있는 트리에서 잎의 기여와 오른쪽 모서리 수를 통한 재귀적 plucking 다항식 정의를 사용한다.
• 와이드 곱의 공식 적용: $ Q(T_1 \vee T_2) = \binom{|E(T_1)|+|E(T_2)|}{|E(T_1)|,|E(T_2)|}_q Q(T_1)Q(T_2) $.
• 상태 곱 공식 사용: $ Q(T) = \prod_{v \in V(T)} \binom{E(T^v)}{E(T^v_{k_v}), \dots, E(T^v_1)}_q $.
• q정수와 가우스 다항식 $ \binom{n+k}{k,n}_q $의 곱을 분석하여 $ k=2,3,4 $에 대해 구조적 제약 조건을 유도한다.
• 간선 합에서 간선 수로의 함수 $ f $를 사용하여 재귀적으로 뿌리가 있는 트리를 구성함으로써 다항식 실현 가능성을 확보한다.
• 대칭적이고 단조증가하는 다항식에서 $ c_0 = c_N = 1 $ 이며 $ c_1 = \sum (k_v - 1) $ 라면, 이는 팔린드롬이면서 단조증가함을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 뿌리가 있는 트리들이 엄격히 단조증가하는 plucking 다항식을 가지는가?
• RQ2 plucking 다항식이 사다리꼴 형태를 띠는 조건은 무엇인가?
• RQ3 q정수의 곱이 뿌리가 있는 트리의 plucking 다항식으로 실현 가능한 조건은 무엇인가?
• RQ4 서로 동형이 아닌 여러 뿌리가 있는 트리가 동일한 plucking 다항식을 가질 수 있는가?
• RQ5 뿌리가 있는 트리에서 plucking 다항식을 유지하는 이동은 무엇이며, 이러한 동치관계를 모두 분류할 수 있는가?

주요 결과

• plucking 다항식 $ Q(T) $ 는 항상 대칭적이며, 단조증가하고, 팔린드롬이며, 상수항과 최고차항 계수가 1이다.
• Q(T)의 엄격한 단조증가성은 계수의 수열이 $ c_0 < c_1 < \cdots < c_{\lfloor N/2\rfloor} = c_{\lceil N/2\rceil} > \cdots > c_N $ 를 만족할 때에만 성립한다.
• q정수의 곱 $ [a_1]_q \cdots [a_k]_q $ 에서 $ a_{i+1} - a_i \geq 2 $ 라면, 유일한 뿌리가 있는 트리 실현이 존재한다.
• 만약 $ a_{i+1} = a_i + 1 $ 이고 $ a_i \geq 5 $ 라면, 정확히 두 개의 서로 다른 뿌리가 있는 트리가 동일한 다항식을 실현하지만, 이들은 무근원 트리로서 동형이다.
• 감소된 뿌리가 있는 트리에 대해 함수 $ T \mapsto Q(T) $ 는 유한대일 뿐만 아니라, $ Q(T) $ 가 간선 수를 결정함을 알 수 있다.
• 서로 동형이 아닌 여러 감소된 뿌리가 있는 트리들이 동일한 plucking 다항식을 가질 수 있으며, 이는 $ n $개의 트리가 동일한 q정수의 곱을 공유하는 구성에 의해 보여진다.