[논문 리뷰] String Diagram Rewrite Theory III: Confluence with and without Frobenius

Filippo Bonchi, Fabio Gadducci외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 13.

Logic, programming, and type systems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이중-푸시아웃 재작성과 인터페이스(DPOI)를 사용한 문자열 다이어그램 재작성 체계에서 유도 가능성(decidability of confluence)이 가능하다는 것을 입증한다. 비판적 쌍 분석을 기반으로 하며, 종료하는 DPOI 체계가 유도 가능할 조건은 모든 비판적 쌍이 결합 가능할 때이고, 이를 통해 히브리드 그래프 재작성으로 일반화된 쿤스-벤딕스 성질을 확장한다. 주요 기여는 대칭 모나이드 이론(SMT)에서, 프로비우스(frobenius) 구조 유무에 관계없이 경로 결합 가능성(path joinability)을 사용하여, 비-프로비우스 케이스의 볼록 매칭에서의 유도 가능성에 대한 결정 가능 기준을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper we address the problem of proving confluence for string diagram rewriting, which was previously shown to be characterised combinatorically as double-pushout rewriting with interfaces (DPOI) on (labelled) hypergraphs. For standard DPO rewriting without interfaces, confluence for terminating rewrite systems is, in general, undecidable. Nevertheless, we show here that confluence for DPOI, and hence string diagram rewriting, is decidable. We apply this result to give effective procedures for deciding local confluence of symmetric monoidal theories with and without Frobenius structure by critical pair analysis. For the latter, we introduce the new notion of path joinability for critical pairs, which enables finitely many joins of a critical pair to be lifted to an arbitrary context in spite of the strong non-local constraints placed on rewriting in a generic symmetric monoidal theory.

연구 동기 및 목표

• 문자열 다이어그램 재작성 체계의 유도 가능성 결정 가능성을 입증한다. 이는 초그래프 위에서 DPOI 재작성으로 형식화된 것이다.
• 특히 표준 비판적 쌍 분석이 실패하는 프로비우스 구조가 없는 경우에, 대칭 모나이드 이론(SMT)에서의 유도 가능성 문제를 해결한다.
• 비-프로비우스 SMT에서의 국소적이지 않은 영향을 다루기 위해, 볼록 DPOI 재작성에서 임의의 문맥으로 비판적 쌍의 유한한 결합을 확장하는 데 사용할 수 있는 경로 결합 가능성(path joinability)을 도입한다.
• 비판적 쌍 분석의 유한성에 기반하여 SMT에서의 유도 가능성 검증을 실용적이고 자동화 가능한 절차로 제공한다.

제안 방법

• 인터페이스를 갖춘 (라벨이 부여된) 초그래프로 문자열 다이어그램을 형식화하고, 조작성의 유지에 기여하는 이중-푸시아웃 재작성과 인터페이스(DPOI)를 사용한다.
• 모든 비판적 쌍의 결합 가능성 검증을 통해 종료하는 DPOI 체계의 유도 가능성 결합 가능성을 입증함으로써, 이 분야에 대해 쿤스-벤딕스 성질을 일반화한다.
• 비-프로비우스 SMT에서의 국소적이지 않은 영향을 다루기 위해, 볼록 DPOI 재작성에서 경로 결합 가능성의 개념을 도입한다.
• 비판적 쌍의 결합 가능성 검증을 위해 최대 경로 관계를 계산하고 경로 확장을 구성하는 알고리즘을 개발한다.
• 실제 예시인 복합체계(bialgebra)와 NLC 체계에 이 프레임워크를 적용하여 실용적인 유도 가능성 검증을 시연한다.
• 결과를 Quantomatic 및 초그래프 기반 재작성 체계와 호환되는 계산 파이프라인으로 인코딩한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 DPOI 재작성으로 초그래프 위에 형식화된 종료하는 문자열 다이어그램 재작성 체계에서 유도 가능성은 결정 가능한가?
• RQ2 비-프로비우스 대칭 모나이드 이론에서 볼록 매칭의 국소적이지 않은 제약 조건을 다루기 위해 비판적 쌍 분석은 어떻게 수정될 수 있는가?
• RQ3 경로 결합 가능성은 표준 비판적 쌍이 부족한 볼록 DPOI 체계에서, 유도 가능성 검증을 위한 유한하고 효과적인 방법을 제공할 수 있는가?
• RQ4 프로비우스 구조의 유무가 유도 가능성 검증의 결정 가능성과 자동화 가능성에 어느 정도 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 방법은 기존의 문자열 다이어그램 도구에 통합되어 등가 이론의 자동 검증을 지원할 수 있는가?

주요 결과

• 종료하는 DPOI 재작성 체계에서의 유도 가능성은 결정 가능하며, 이를 통해 히브리드 그래프 재작성에 대한 쿤스-벤딕스 성질이 일반화된다.
• 프로비우스 구조가 있는 대칭 모나이드 이론에서는 표준 결합 가능성으로 유한한 수의 비판적 쌍을 검사함으로써 유도 가능성을 결정할 수 있다.
• 비-프로비우스 SMT에서는 볼록 DPOI 재작성과 함께 경로 결합 가능성 사용이 가능할 경우, 유도 가능성이 결정 가능하다.
• 이 논문은 볼록 재작성에서 비판적 쌍의 유한한 결합을 임의의 문맥으로 확장할 수 있도록 하는 새로운 메커니즘으로서 경로 결합 가능성의 개념을 도입한다.
• 경로 확장 계산을 위한 알고리즘은 계산 가능하며, NLC 예제에서 22개의 비판적 쌍을 통해 자동화 가능함을 시연하였다.
• 이 프레임워크는 [37, 28, 24]와 같은 다양한 SMT에 적용 가능하며, Quantomatic과 같은 도구에 통합 가능하다.