[논문 리뷰] String-to-String Interpretations With Polynomial-Size Output (Track B: Automata, Logic, Semantics, and Theory of Programming)

Mikołaj Bojańczyk, Sandra Kiefer외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

semigroups and automata theory참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 각 출력 위치가 입력 위치의 k-튜플에 의해 정의되는 문자열에서 문자열로의 MSO 해석—즉, 출력 위치가 입력 위치의 k-튜플에 의해 결정되는 방식—이 정확히 다항정규 함수와 동치임을 입증한다. 다항정규 함수는 펜슬 오토마타로 특징지어지며 합성에 대해 닫혀 있다. 핵심 통찰은 문자열의 k-튜플 위치에 대한 순서를 정의하는 MSO 공식이 암묵적으로 스택 규칙을 강제함으로써, 논리적 프레임워크에서 그러한 제약 조건이 보이지 않음에도 불구하고 펜슬 오토마타로의 번역이 가능하다는 점이다.

ABSTRACT

String-to-string MSO interpretations are like Courcelle's MSO transductions, except that a single output position can be represented using a tuple of input positions instead of just a single input position. In particular, the output length is polynomial in the input length, as opposed to MSO transductions, which have output of linear length. We show that string-to-string MSO interpretations are exactly the polyregular functions. The latter class has various characterizations, one of which is that it consists of the string-to-string functions recognized by pebble transducers. Our main result implies the surprising fact that string-to-string MSO interpretations are closed under composition.

연구 동기 및 목표

• 문자열에서 문자열로의 MSO 해석을 도입함으로써 다항정규 함수의 논리적 특징화에서 발생하는 격차를 메우기 위해.
• MSO 해석이 다항 크기의 출력을 가지는 경우 합성에 대해 닫혀 있는지 여부라는 열린 문제를 해결하기 위해.
• MSO 공식이 문자열 위치의 k-튜플에 대해 정의하는 암묵적 구조가 스택 규칙을 강제함으로써 펜슬 오토마타와의 동치성을 가능하게 한다는 것을 보여주기 위해.
• 이전에는 주로 오토마타와 프로그래밍 모델로만 특징지어졌던 다항정규 함수에 대한 논리적 기반을 제공하기 위해.

제안 방법

• 출력 위치가 입력 위치의 k-튜플에 의해 정의되는 문자열에서 문자열로의 MSO 해석을 도입하여, 기존의 표준 MSO 변환을 일반화함.
• 문자열의 k-튜플에 대한 MSO 공식의 새로운 특징을 사용하여, 이 공식이 튜플 위치에 대해 암묵적으로 스택 규칙을 강제함을 보임.
• 제품 지배 레마와 블록 구조에 대한 유형 기반 분석을 활용하여, k-튜플에 대한 MSO 공식이 펜슬 스택 동작과 유사한 계층적 순서를 유도함을 증명함.
• 합성성과 연속성 추론을 적용하여, 유형에 대한 섹션 사상의 이미지가 정의 가능한 순서를 유지함을 보임.
• 양자화 순서와 블록 거리의 임계값 기반 분석을 통해 튜플 비교에서 지배적인 좌표를 식별함.
• 암묵적인 스택 규칙을 활용하여, k-튜플 구성 상태를 펜슬 오토마타 상태로 시뮬레이션함으로써 MSO 해석에서 펜슬 트랜스듀서로의 번역을 구축함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 MSO 변환을 다항 크기의 출력으로 확장하는 논리적 특징화가 다항정규 함수에 대해 존재하는가?
• RQ2 k-튜플 출력을 가지는 문자열에서 문자열로의 MSO 해석이, 튜플에 대한 중첩된 양자화의 문제에도 불구하고 합성에 대해 닫혀 있는가?
• RQ3 펜슬 오토마타가 요구하는 스택 규칙이 문자열의 k-튜플에 대한 MSO 공식에 의해 암묵적으로 강제될 수 있는가?
• RQ4 문자열에서 문자열로의 MSO 해석은 표준 MSO 변환보다 엄밀히 더 표현력이 강한가?
• RQ5 모든 다항정규 함수는 입력 위치의 k-튜플을 사용하는 MSO 해석으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 입력 위치의 k-튜플을 사용하는 문자열에서 문자열로의 MSO 해석은 정확히 다항정규 함수와 동치이다.
• 외견상의 장애에도 불구하고, MSO 해석은 합성에 대해 닫혀 있으며, 이는 이전에 다항정규 함수에 대해서만 알려진 성질이다.
• 문자열 위치의 k-튜플에 대한 선형 순서를 정의하는 MSO 공식은 튜플 인덱스에 대해 암묵적인 스택 규칙을 강제함으로써, 펜슬 오토마타로의 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 문자열에서 문자열로의 MSO 해석에 대한 임의의 정규 문자열 언어의 역상 역시 정규이며, 이는 다항정규 함수 성질의 결과이다.
• 증명은 임계값 기반의 유형 분석을 통해 튜플 비교에서 지배적인 좌표를 식별하는 제품 지배 레마에 기반한다.
• 직접 공식 치환을 피하기 위해, 연속성과 유형 보존을 통해 정의 가능한 순서를 유지하는 비직접적이고 암묵적인 번역을 사용함으로써 구성 과정을 회피함.