[논문 리뷰] String topology for spheres

Luc Menichi, Gérald Gaudens|arXiv (Cornell University)|2006. 09. 11.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 구면 $S^d$, $d \geq 1$에 대해 $\mathbb{H}_*(LS^d;\mathbb{F}_2)$에서의 Batalin-Vilkovisky (BV) 대수적 구조를 $\mathbb{F}_2$ 위에서 계산한다. $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$의 기본 Gerstenhaber 대수와 $HH^*(H^*(S^2); H^*(S^2))$의 기본 Gerstenhaber 대수가 서로 동형임을 보여주지만, 그들의 BV 구조는 서로 동형이 아니며, 이는 자연스러운 추측을 반박한다. 핵심 기술적 입력은 $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$를 BV 대수로 계산하여 $\Delta(v_1) = v_1 * v_1$가 비자명하게 성립함을 증명하는 것이다.

ABSTRACT

Let $M$ be a compact oriented $d$-dimensional smooth manifold. Chas and Sullivan have defined a structure of Batalin-Vilkovisky algebra on $\mathbb{H}_*(LM)$. Extending work of Cohen, Jones and Yan, we compute this Batalin-Vilkovisky algebra structure when $M$ is a sphere $S^d$, $d\geq 1$. In particular, we show that $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$ and the Hochschild cohomology $HH^{*}(H^*(S^2);H^*(S^2))$ are surprisingly not isomorphic as Batalin-Vilkovisky algebras, although we prove that, as expected, the underlying Gerstenhaber algebras are isomorphic. The proof requires the knowledge of the Batalin-Vilkovisky algebra $H_*(Ω^2 S^3;\mathbb{F}_2)$ that we compute in the Appendix.

연구 동기 및 목표

• 구면 $S^d$, $d \geq 1$에 대해 $\mathbb{H}_*(LS^d;\mathbb{F}_2)$에서의 Batalin-Vilkovisky (BV) 대수적 구조를 계산하는 것.
• M이 구면일 때 $\mathbb{H}_*(LM)$이 $HH^*(H^*(M); H^*(M))$과 BV 대수로서 동형이 되는가에 대한 추측을 검증하는 것.
• $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$와 $HH^*(H^*(S^2); H^*(S^2))$ 사이의 Gerstenhaber 대수 동형이 BV 대수 동형으로 확장되는지 여부를 해결하는 것.
• $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$에서의 BV 대수적 구조를 계산하는 것. 이는 주요 결과에 필수적이다.

제안 방법

• Ch스-술리반 루프 곱과 톰-폰트리아진 구성에 의한 기하학적 사상(Thom-Pontryagin construction)을 이용해 $\mathbb{H}_*(LM)$에서의 BV 연산자 $\Delta$를 정의하는 것.
• 호모로지에서의 폭발 곱과 합성 사상(composition map)을 적용하여, $x \in H_*(\Omega^2X;\mathbb{F}_2)$에 대해 $\Delta x = x \circ (v_1 * [1])$로 표현하는 것. 여기서 $v_1$는 $H_1(\Omega^2_0S^2;\mathbb{F}_2)$를 생성한다.
• 호모토피 동치 $\Omega^2\eta: \Omega^2S^3 \simeq \Omega^2_0S^2$를 이용해 $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$의 BV 구조를 $H_*(\Omega^2_0S^2;\mathbb{F}_2)$로 이전하는 것.
• 다이어-라슈오프 연산과 포isson 관계 $\{a,b\} = \Delta(ab) - \Delta(a)b - a\Delta(b)$를 이용해 $H_*(\Omega^2S^2;\mathbb{F}_2)$에서 $\Delta(v_1)$를 계산하는 것.
• $H_1(\Theta)[S^1] = v_1 * [1]$을 이용하여 $\Omega^2S^2$에서의 $S^1$-작용을 고려해 $\Delta x = x \circ (v_1 * [1])$를 증명하는 것.
• $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$에서 $\Delta(u_1) = u_1 * u_1$를 증명하여 $\Delta$가 비자명함을 보이는 것. 여기서 $u_1$는 $H_1(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$를 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$에서의 Batalin-Vilkovisky 대수적 구조가 $HH^*(H^*(S^2); H^*(S^2))$와 동형인지 여부?
• RQ2 $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$와 $HH^*(H^*(S^2); H^*(S^2))$ 사이의 Gerstenhaber 대수 동형이 BV 대수 동형으로 확장되는가?
• RQ3 $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$의 BV 대수적 구조는 무엇이며, $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$와의 관계는 어떠한가?
• RQ4 $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$에서의 BV 연산자 $\Delta$는 비자명한가? 그리고 생성자 $u_1$에 대한 작용은 무엇인가?
• RQ5 $\Omega^2S^2$에서의 $S^1$-작용을 이용해 $\Delta$를 $v_1 * [1]$과의 합성으로 표현할 수 있는가?

주요 결과

• Gerstenhaber 대수는 동형이지만, Batalin-Vilkovisky 대수로서 $\mathbb{H}_*(LS^2;\mathbb{F}_2)$는 Hochschild 코hom로지 $HH^*(H^*(S^2); H^*(S^2))$와 동형이 아니다.
• $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$에서의 BV 연산자 $\Delta$는 비자명하며, 생성자 $u_1 \in H_1(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$에 대해 $\Delta(u_1) = u_1 * u_1$임을 증명한다.
• $\Omega^2\eta: \Omega^2S^3 \to \Omega^2_0S^2$는 호모토피 동치를 유도하므로, $H_*(\Omega^2S^3;\mathbb{F}_2)$와 $H_*(\Omega^2_0S^2;\mathbb{F}_2)$는 BV 대수로서 동형이다.
• $H_*(\Omega^2S^2;\mathbb{F}_2)$에서의 BV 연산자는 $\Delta x = x \circ (v_1 * [1])$를 만족한다. 여기서 $v_1$는 $H_1(\Omega^2_0S^2;\mathbb{F}_2)$를 생성하고 $[1]$은 $H_0(\Omega^2_1S^2;\mathbb{F}_2)$를 생성한다.
• $H_*(\Omega^2S^2;\mathbb{F}_2)$에서의 계산 $\Delta(v_1) = v_1 * v_1$는 BV 연산자의 비자명성을 확인하고 주요 비동형 결과의 기초를 제공한다.
• 결과적으로, $M = S^2$일 때 $\mathbb{H}_*(LM)$과 $HH^*(H^*(M); H^*(M))$가 BV 대수로서 동형이 되는 자연스러운 추측은 $\mathbb{F}_2$ 위에서는 실패함을 보여준다. 이는 Gerstenhaber 구조가 일치하더라도 성립하지 않는다.