[논문 리뷰] String topology of classifying spaces

David Chataur, Luc Menichi|ArXiv.org|2007. 12. 31.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 40인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유한군 또는 컴팩트 연결 리군에 대해, 계수를 체로 취할 때 자유 루프 공간 $\mathcal{L}BG$의 특이 호모로지가 호모로지적 등각(field-theoretic) 이론을 이룬다는 것을 증명한다. 이는 $H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$가 $G$의 특이 체인의 호크슈바르트 코homology와의 대수적 동형을 통해 Batalin-Vilkovisky 대수의 구조를 지닌다는 것을 보이며, Umkehr 사상과 props를 사용하여 장 이론적 연산을 구성한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a finite group or a compact connected Lie group and let $BG$ be its classifying space. Let $\mathcal{L}BG:=map(S^1,BG)$ be the free loop space of $BG$ i.e. the space of continuous maps from the circle $S^1$ to $BG$. The purpose of this paper is to study the singular homology $H_*(\mathcal LBG)$ of this loop space. We prove that when taken with coefficients in a field the homology of $\mathcal LBG$ is a homological conformal field theory. As a byproduct of our main theorem, we get a Batalin-Vilkovisky algebra structure on the cohomology $H^*(\mathcal LBG)$. We also prove an algebraic version of this result by showing that the Hochschild cohomology $HH^*(S_* (G),S_*(G))$ of the singular chains of $G$ is a Batalin-Vilkovisky algebra.

연구 동기 및 목표

• 유한군 및 컴팩트 리군에 대해 자유 루프 공간 $\mathcal{L}BG$의 호모로지에 장 이론적 구조를 확립하는 것.
• $H_*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$가 체 $\mathbb{F}$ 위에서 호모로지적 등각 이론이 되며, 이는 스트링 토폴로지의 분류 공간으로의 일반화이다.
• $H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$가 호크슈바르트 코homology와의 동형을 통해 Batalin-Vilkovisky 대수의 구조를 지닌다는 것을 증명하는 것.
• Umkehr 사상과 매핑 공간에서 온 방향성 클래스를 사용하여 $H_*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$에 대한 props 작용을 구성하는 것.
• 호크슈바르트 코homology와 props와 같은 대수적 토폴로지 도구를 사용하여 스트링 토폴로지 연산을 분류 공간으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 유한군의 경우 전이 사상, 리군의 경우 섬유에 沿한 통합을 사용하여 $\mathcal{L}BG$에서 스트링 토폴로지 연산을 정의한다.
• 리만 표면의 세갈 프롭과 관련된 프롭을 사용하여 위상적 장 이론의 구조를 모델링한다.
• 쿠니에트 동형과 호모토피 동치 $f: F/\partial_{\text{in}} \to \vee_{-\chi(F)} S^1$를 사용하여 $H_{-d\chi(F)}(\text{map}_*(F/\partial_{\text{in}}, X); \mathbb{F})$에 표준 생성자 $w_f$를 구성한다.
• 선택된 호모토피 동치에 의존하지 않는 방향성 사상 $Or(F): \text{det}H_1(F, \partial_{\text{in}}; \mathbb{Z})^{\otimes d} \to H_{-d\chi(F)}(\text{map}_*(F/\partial_{\text{in}}, X); \mathbb{F})$를 정의한다.
• 결과로 얻어진 구조는 프롭의 사상에 의해 $H_*(\mathcal{L}X; \mathbb{F})$가 $d$차원의 비단위, 비코단위 등각 이론이 되게 한다.
• 버흐레아-페더러 및 굿위릴의 알려진 결과를 활용하여 $H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$와 $HH^*(S_*(G), S_*(G))$ 사이의 동형을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한군 또는 컴팩트 리군에 대해 분류 공간 $BG$의 자유 루프 공간 호모로지 $H_*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$는 호모로지적 등각 이론의 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ2 $H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$에 존재하는 Batalin-Vilkovisky 대수의 구조는 스트링 토폴로지 연산을 통해 기하학적으로 실현될 수 있는가?
• RQ3 매핑 공간에서 온 Umkehr 사상과 방향성 클래스는 $\mathcal{L}BG$에서 장 이론적 연산을 구성하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ4 $H_*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$에 대한 프롭 작용은 호모토피 동치를 통한 생성자 구성에서의 선택에 의존하는가?
• RQ5 $H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$와 호크슈바르트 코homology $HH^*(S_*(G), S_*(G))$ 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 체 $\mathbb{F}$ 위에서 유한군과 컴팩트 연결 리군의 특이 호모로지 $H_*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$는 유한 차원 호모로지 조건을 만족할 때 호모로지적 등각 이론이 된다.
• $H^*(\mathcal{L}BG; \mathbb{F})$는 $HH^*(S_*(G), S_*(G))$와의 동형을 통해 Batalin-Vilkovisky 대수의 구조를 지닌다.
• 방향성 사상 $Or(F)$는 호모토피 동치 $f: F/\partial_{\text{in}} \to \vee_{-\chi(F)} S^1$의 선택에 영향을 받지 않으며, 이는 장 이론 구조의 일관성을 보장한다.
• $H_{-d\chi(F)}(\text{map}_*(F/\partial_{\text{in}}, X); \mathbb{F})$에서 생성자 $w_f$의 구성은 호모토피 동치의 변화에 따라 행렬식의 $d$제곱만큼 변환되며, 이는 장 이론 구조를 유지한다.
• $H_*(\mathcal{L}X; \mathbb{F})$는 $\text{det}H_1(F, \partial_{\text{in}}; \mathbb{Z})^{\otimes d} \otimes H_*(BDiff^+(F, \partial))$의 텐서곱 프롭의 대수로서의 구조를 지닌다. 이는 $d$차원 등각 이론의 구조를 확인한다.
• 주요 결과는 $H_*(G; \mathbb{F})$가 유한 차원인 임의의 연결 위상군으로 확장되며, 원래의 컴팩트 리군 결과를 일반화한다.