[논문 리뷰] String topology of Poincare duality groups

Hossein Abbaspour, Ralph L. Cohen외 1명|arXiv (Cornell University)|2005. 11. 07.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 3인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 Poincaré duality 군의 중심화자들의 호모로지의 그레이드된 호모로지에 대해 대수적이고 교차 이론적인 스트링 토폴로지 곱을 구성하며, LG = ⊕[G] H*+n(Cg) 위에 그레이드되고 결합법칙적이며 교환법칙적인 대수적 구조를 정의한다. 이 구성은 Poincaré 대칭성과 이중 코셋 분해를 이용하여 중심화자 부분군 내의 교차 쌍대를 통해 곱을 정의하며, G가 비가역적이고 폐쇄적이며 정향된 n차원 다중체의 기본군일 경우, 이 곱이 자유 루프 공간 호모로지 H*(LM)의 Chas-Sullivan 루프 곱과 정확히 일치함을 증명한다.

ABSTRACT

Let G be a Poincare duality group of dimension n. For a given element g in G, let C_g denote its centralizer subgroup. Let L_G be the graded abelian group defined by (L_G)_p = oplus_{[g]}H_{p+n}(C_g) where the sum is taken over conjugacy classes of elements in G. In this paper we construct a multiplication on L_G directly in terms of intersection products on the centralizers. This multiplication makes L_G a graded, associative, commutative algebra. When G is the fundamental group of an aspherical, closed oriented n manifold M, then (L_G)_* = H_{*+n}(LM), where LM is the free loop space of M. We show that the product on L_G corresponds to the string topology loop product on H_*(LM) defined by Chas and Sullivan.

연구 동기 및 목표

• . 이 논문은 미분위상수학에 의존하지 않고 Poincaré duality 군에 대해 스트링 토폴로지 곱을 대수적으로 정의하고자 한다.
• 논문은 Chas-Sullivan 루프 곱의 구성 방식을 다중체의 설정에서 순수 군론적 설정인 Poincaré duality 군으로 일반화하고자 한다.
• 목표는 중심화자 내의 교차 쌍대를 이용한 직접적인 호모로지 이론적 곱의 구성이다.
• 이 대수적 곱이 G가 비가역적이고 폐쇄적이며 정향된 n차원 다중체의 기본군일 경우 기하학적 스트링 토폴로지 곱과 일치함을 보이고자 한다.
• 그룹의 호모로지 모델을 그룹의 구조에 내재된 방식으로 제공하고자 한다.

제안 방법

• . 구성은 Poincaré 대칭성을 이용한 교차 쌍대를 정의한다: 하위군 K, H < G에 대해, Hp(K; Z) ⊕ Hq(H; Z) → ⊕[g] Hp+q-n(K ∩ gHg^{-1})로 매핑한다.
• 이 쌍대는 군 코hom로지의 컵곱을 통해 구성되며, Poincaré 대칭성에 의해 쌍대화되고, 이중 코셋 공식을 통한 G-모듈러스 동형사상과 조합된다.
• 중심화자 Cα와 Cβ에 대해 곱은 μ = j* ∘ ∩: Hp+n(Cα) ⊕ Hq+n(Cβ) → ⊕g H*+n(Cα ∩ gCβg^{-1})로 정의된다.
• 사상 j*는 포함사상 Cα ∩ gCβg^{-1} → Cαgβg^{-1}에 의해 유도되며, 이는 교차를 곱 원소의 코너주기와 식별한다.
• 곱이 결합법칙적, 교환법칙적, 단위원을 갖는 것은 정의의 직접적 검증과 이중 코셋 합에 대한 G-등변적 호환사상의 사용을 통해 증명된다.
• Chas-Sullivan 곱과의 대응은 기본 덮개 위에서 Pontrjagin-Thom 구성에 의한 기하학적 umkehr 사상과 비교함으로써 확립된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . Poincaré duality 군에 대해 스트링 토폴로지 루프 곱을 군 호모로지의 순수 대수적 표현으로 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 이 곱에 대해 그레이드된 중심화자 호모로지 LG = ⊕[G] H*+n(Cg)의 정확한 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 G가 비가역적이고 폐쇄적이며 정향된 n차원 다중체의 기본군일 경우, 이 대수적 곱이 기하학적 Chas-Sullivan 루프 곱과 일치하는가?
• RQ4 중심화자 내의 교차 쌍대는 자유 루프 공간 내 루프의 기하학적 교차와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 미분위상수학 없이 군 코호몰로지와 Poincaré 대칭성을 이용해 스트링 토폴로지 곱을 재구성할 수 있는가?

주요 결과

• . 이 논문은 중심화자 내의 교차 쌍대를 이용하여 LG = ⊕[G] H*+n(Cg) 위에 잘 정의된 그레이드되고 결합법칙적이며 교환법칙적인 대수적 구조를 구성한다.
• 곱은 Poincaré 대칭성, 컵곱, 이중 코셋 동형사상의 조합을 통해 정의되며, 코너주기 중심화자의 호모로지로의 사상으로 이어진다.
• 곱이 부호 (−1)^pq에 대해 교환법칙적임은 이중 코셋 합에 대한 G-등변적 호환사상에 기인한다.
• 대수의 단위원은 (LG)0 내의 기본류 z ∈ Hn(G)로 주어진다.
• G = ̀π1(M)일 때 비가역적이고 폐쇄적이며 정향된 n차원 다중체 M에 대해, 대수 (LG)*는 재그레이딩을 통해 H*(LM)과 동형이다.
• 주요 결과(정리 6)는 (LG)* 위의 대수적 곱 μ가 Chas-Sullivan 루프 곱과 정확히 일치함을 증명하며, umkehr 사상과 톰 이sovorphism을 포함하는 관련 도형의 교환을 통해 이를 보였다.