[논문 리뷰] Strong and weak (1, 3) homotopies on knot Projections

Noboru Ιτο, Yusuke Takimura외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 01.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 첫 번째 평탄한 Reidemeister 이동과 세 번째 평탄한 Reidemeister 이동의 두 변형을 사용하여 링크 투영에 대한 강한 및 약한 (1,3) 호모토피를 도입한다. 교차 현 수를 강한 (1,3) 호모토피 불변량으로 정의하고, Hanaki의 단순화 수가 약한 (1,3) 불변량임을 증명하며, 단순화 수가 2인 링크 투영을 완전히 분류하고, 자명한 링크 투영의 강한 (1,3) 호모토피 동치류를 규명한다.

ABSTRACT

Strong and weak (1, 3) homotopies are equivalence relations on knot projections, defined by the first flat Reidemeister move and each of two different types of the third flat Reidemeister moves. In this paper, we introduce the cross chord number that is the minimal number of double points of chords of a chord diagram. Cross chord numbers induce a strong (1, 3) invariant. We show that Hanaki's trivializing number is a weak (1, 3) invariant. We give a complete classification of knot projections having trivializing number two up to the first flat Reidemeister moves using cross chord numbers and the positive resolutions of double points. Two knot projections with trivializing number two are both weak (1, 3) homotopy equivalent and strong (1, 3) homotopy equivalent if and only if they can be related by only the first flat Reidemeister moves. Finally, we determine the strong (1, 3) homotopy equivalence class containing the trivial knot projection and other classes of knot projections.

연구 동기 및 목표

• 평탄한 Reidemeister 이동을 사용하여 링크 투영에 대한 강한 및 약한 (1,3) 호모토피를 정의하고 분석한다.
• 교차 현 수를 강한 (1,3) 호모토피 불변량으로 도입한다.
• Hanaki의 단순화 수가 약한 (1,3) 호모토피 불변량임을 보인다.
• 강한 및 약한 (1,3) 호모토피 하에서 단순화 수가 2인 모든 링크 투영을 분류한다.
• 자명한 링크 투영의 강한 (1,3) 호모토피 동치류와 기타 동치류를 규명한다.

제안 방법

• 첫 번째 평탄한 Reidemeister 이동과 세 번째 평탄한 Reidemeister 이동의 두 가지 다른 변형을 통해 강한 및 약한 (1,3) 호모토피를 정의한다.
• 교차 현 수를 현 다이어그램에서의 이중점 수의 최솟값으로 정의하고, 이가 강한 (1,3) 호모토피 불변량임을 입증한다.
• 이중점의 양성 해소와 현 다이어그램 분석을 활용하여 단순화 수가 2인 투영을 분류한다.
• 디스크 분해와 국소적 구성에 대한 귀납적 추론을 적용하여 특정 이동 순서의 존재하지 않음을 증명한다.
• 단순화 수와 교차 현 수를 활용하여 호모토피 동치류를 구분한다.
• 명시적 구성과 위상동형 변환을 활용하여 동치류의 등가성을 검증하며, 이는 자명한 링크 투영을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자명한 링크 투영을 포함하는 강한 (1,3) 호모토피 동치류의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 강한 및 약한 (1,3) 호모토피 관계는 링크 투영을 분류할 때 어떻게 다를까?
• RQ3 단순화 수가 2인 링크 투영은 강한 및 약한 (1,3) 호모토피 하에서 완전히 분류될 수 있는가?
• RQ4 교차 현 수는 강한 (1,3) 호모토피 동치에 대해 완전한 불변량인가?
• RQ5 단순화 수와 약한 (1,3) 호모토피 동치 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 교차 현 수는 강한 (1,3) 호모토피 불변량으로서, 이 동치 관계 하에서 링크 투영을 구분하는 데 새로운 도구를 제공한다.
• Hanaki의 단순화 수는 약한 (1,3) 호모토피 불변량으로서, 기존의 불변량을 새로운 호모토피 프레임워크와 연결한다.
• 단순화 수가 2인 두 링크 투영은 서로 강한 및 약한 (1,3) 호모토피 동치일 필요 충분조건이 첫 번째 평탄한 Reidemeister 이동으로만 연결되어 있을 때 성립한다.
• 자명한 링크 투영의 강한 (1,3) 호모토피 동치류는 완전히 규명되어 있으며, 이는 첫 번째 및 세 번째 평탄한 이동을 통해 항상 자명한 링크로 축소될 수 있는 투영들로만 구성되어 있다.
• 단순화 수와 교차 현 수를 함께 고려한, 이중점 수가 일곱 이하인 기약 소 링크 투영의 분류가 제공되며, 이는 명시적인 호모토피 연결을 보여준다.
• 8개의 이중점을 가진 기약 링크 투영을 통해 $7_4$와 $7_B$가 강한 (1,3) 호모토피 하에서 동치임을 보였다.