[논문 리뷰] Strong and weak convergence for averaging principle of DDSDE with singular drift

Mengyu Cheng, Zimo Hao외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 25.

Stochastic processes and financial applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 국소적 $L^p$ 공간에서 특이성 있는 비율을 가진 분포에 의존하는 확률적 미분 방정식(DDSDEs)에 대해 강한 수렴성과 약한 수렴성을 확립한다. 조브킨의 변환과 코모고로프 방정식에 대한 열핵 추정을 이용하여, 저자들은 원래의 빠른-느린 시스템의 해가 시간 스케일 $\varepsilon \to 0$ 일 때 평균화된 시스템으로 수렴함을 증명하며, 수렴 속도는 $p$에 명시적으로 의존한다. 주요 기여는 비율에 대한 최소한의 정규성 가정 하에 정량적 수렴 속도를 도출한 데 있다.

ABSTRACT

In this paper, we study the averaging principle for distribution dependent stochastic differential equations with drift in localized $L^p$ spaces. Using Zvonkin's transformation and estimates for solutions to Kolmogorov equations, we prove that the solutions of the original system strongly and weakly converge to the solution of the averaged system as the time scale $\eps$ goes to zero. Moreover, we obtain rates of the strong and weak convergence that depend on $p$ respectively.

연구 동기 및 목표

• 국소적 $L^p$ 공간에서 특이성 있는 비율을 가진 분포에 의존하는 확률적 미분 방정식(DDSDEs)에 대한 평균화 원리를 확립하기 위해.
• DDSDEs의 비율 계수에서의 고주기적인 시간 성분 문제를 다루기 위해.
• 빠른-느린 시스템이 평균화된 극한으로 향하는 강한 수렴성과 약한 수렴성에 대한 명시적 수렴 속도를 도출하기 위해.
• 기존의 평균화 원리 결과를 비율이 분포에 의존하는 경우로 확장하고, 비율에 대한 최소한의 정규성 조건을 가정하기 위해.

제안 방법

• 특이성 있는 비율을 가진 SDE를 정규화하기 위해 조브킨의 변환을 적용하여 PDE 기법의 사용을 가능하게 한다.
• 코모고로프 방정식의 해에 대한 열핵 추정을 사용하여 전이 밀도의 시간 정규성을 제어한다.
• SDE 동역학에서 $\widetilde{\mathbb{L}}^p$-비율을 다루기 위해 시간 이산화 기법을 적용한다.
• 원래 과 평균화된 과정 간의 총 변동 거리 분석을 통해 수렴 속도를 확립한다.
• 국소적 베셀 힐베르트 공간에서 샤투르 유형 추정과 고정점 논증을 사용하여 해의 행동을 제어한다.
• 비율이 해의 법칙에 대한 함수로 구성되어 있음을 활용하여 평균장 의존성을 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 스케일 $\varepsilon \to 0$ 일 때, 국소적 $L^p$ 공간에서 특이성 있는 비율을 가진 빠른-느린 DDSDE의 해가 평균화된 시스템의 해로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 시스템에 대한 강한 수렴성과 약한 수렴성의 명시적 속도는 무엇이며, 비율의 적분 가능성 지수 $p$에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 분포에 의존하는 비율을 가진 DDSDEs에 대해 $L^p$ 기반 국소 공간에서 평균화 원리가 성립할 수 있는가?
• RQ4 조브킨의 변환과 열핵 추정은 평균장 성격을 가진 비율을 다루기 위해 어떻게 적응될 수 있는가?
• RQ5 해의 시간 정규성이 빠른-느린 시스템의 수렴 분석에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 국소적 $L^p$ 공간에서 특이성 있는 비율을 가진 원래 DDSDE의 해는 $\varepsilon \to 0$ 일 때 평균화된 시스템의 해로 강하게 수렴한다.
• 논문은 과정의 법칙에 대한 약한 수렴성을 확립하며, 이 수렴 속도는 비율의 적분 가능성 지수 $p$에 명시적으로 의존한다.
• 비율과 분산 계수에 적절한 가정 하에 강한 수렴 속도는 $\varepsilon^{\frac{1}{2}}$ 순서이다.
• 비율의 적분 가능성 지수 $p > d$ 일 때 약한 수렴 속도는 $\varepsilon^{\frac{1}{2}}$ 순서이며, $p \leq d$ 일 때는 $\varepsilon^{\frac{1}{2} - \delta}$ 순서이다. 여기서 $\delta > 0$ 이며 매우 작다.
• 열핵 추정과 조브킨의 변환은 비율의 비정규성을 제어하고 수렴성을 증명하는 데 핵심적인 역할을 한다.
• 최소한의 정규성 가정 하에서도 수렴 결과는 강인하며, 이는 이전 연구를 $p$가 $d$에 가까운 $L^p$-비율의 경우로 확장한다.