[논문 리뷰] Strong and weak convergence rates of finite element method for stochastic partial differential equation with non-globally Lipschitz coefficients

Jianbo Cui, Jialin Hong|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 05.

Stochastic processes and financial applications인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비전역 리프시츠 계수를 갖는 확률 편미분방정식(SPDEs)에 유한요소법을 적용할 때의 강한 수렴 및 약한 수렴 속도를 확립한다. 이는 스트로스터스 앨런-클로울 방정식과 같은 예를 포함한다. 새로운 이산 확률 적분의 분해, 渐近적 추정, 마리얀 칼큘러스 기법을 결합하여, 정규화된 코모고로프 방정식의 최적 수렴 속도와 수치해의 정밀한 마리얀 미분 가능성을 도출한다.

ABSTRACT

Strong and weak approximation errors of a spatial finite element method are analyzed for the stochastic partial differential equations(SPDEs) with non-globally Lipschitz coefficients, including the stochastic Allen--Cahn equation, driven by additive noise. In order to give the strong convergence rate of the finite element method, we present an appropriate decomposition and some a priori estimates of the discrete stochastic convolution. To investigate the weak error, we first regularize the original equation by the splitting technique and obtain the regularity of the corresponding regularized Kolmogorov equation. Meanwhile, we present the refined estimates and the regularity in Malliavin sense of the finite element methods. Combining with the regularity of regularized Kolmogorov equation and Malliavin integration by parts, we give the weak convergence rate of the finite element method.

연구 동기 및 목표

• 비전역 리프시츠 계수를 갖는 SPDEs에 대한 유한요소법의 강한 및 약한 수렴 속도를 분석한다. 이는 스트로스터스 앨런-클로울 방정식을 포함한다.
• 표준 수렴 분석을 복잡하게 만드는 비전역 리프시츠 계수의 문제를 다룬다.
• 코모고로프 방정식의 정규화와 마리얀 칼큘러스 기법을 결합하여 최적 수렴 속도를 확립한다.
• 이산 확률 적분에 대한 사전 추정 및 유한요소 해의 마리얀 의미에서의 정규성 특성을 도출한다.
• 비연속적이고 비전역 리프시츠 비선형성을 갖는 SPDEs의 약한 수렴 분석에서의 격차를 메운다.

제안 방법

• 강한 수렴 분석에 필수적인 사전 추정을 도출하기 위해 이산 확률 적분의 분해를 제안한다.
• 원래 SPDE를 정규화하기 위해 분할 기법을 적용하여 정규화된 코모고로프 방정식의 정규성 분석을 가능하게 한다.
• 유한요소 해의 마리얀 미분 가능성을 확립하고 정밀한 추정을 도출하여 약한 수렴 분석을 지원한다.
• 정규화된 코모고로프 방정식의 정규성과 함께 마리얀 적분의 부분적 통합을 사용하여 약한 수렴 속도를 유도한다.
• 이산 해의 사전 추정과 마리얀 의미의 확률 미분 기법을 결합하여 오차 항을 제어한다.
• 이론적 프레임워크의 타당성을 검증하기 위해 스트로스터스 앨런-클로울 방정식의 구조를 핵심 예시로 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비전역 리프시츠 계수를 갖는 SPDEs에 대한 유한요소법의 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 계수가 전역 리프시츠 조건을 만족하지 못할 경우 약한 수렴 속도는 어떻게 분석할 수 있는가?
• RQ3 코모고로프 방정식의 정규화가 이러한 SPDEs의 약한 수렴 분석을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 전역 리프시츠 조건이 없을 경우 마리얀 칼큘러스를 어떻게 사용하여 약한 수렴 속도를 도출할 수 있는가?
• RQ5 이 맥락에서 이산 확률 적분에 필요한 사전 추정 및 정규성 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 이산 확률 적분의 적절한 사전 추정을 도출하여 유한요소법의 강한 수렴 속도를 확립한다.
• 유한요소 해의 마리얀 미분 가능성에 대한 정밀한 분석을 통해 약한 오차 항을 제어할 수 있다.
• 분할 기법을 통한 코모고로프 방정식의 정규화는 약한 수렴 분석을 뒷받침할 충분한 정규성을 제공한다.
• 정규화된 코모고로프 방정식의 정규성과 마리얀 적분의 부분적 통합을 결합하여 약한 수렴 속도를 도출한다.
• 비전역 리프시츠 SPDEs, 예를 들어 스트로스터스 앨런-클로울 방정식의 경우에도 주어진 가정 하에 최적 수렴 속도를 달성한다.
• 이론적 프레임워크는 스트로스터스 앨런-클로울 방정식에 적용하여 그 효과성을 입증한다.