[논문 리뷰] Strong c-algebrability of strong Sierpiński-Zygmund, smooth nowhere analytic and other sets of functions

Artur Bartoszewicz, Marek Bienias외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 01.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 강한 Sierpiński-Zygmund, 전구간 Hölder가 아닌 함수, Bruckner-Garg, 매끄럽게 분석적이지 않은 함수, 미분 가능하지만 어디서도 단조가 아닌 함수 등의 특수한 실함수 가족들에 대해 강한 𝔠-algebrability를 확립한다. 지수함수 유사 함수와의 복합을 통해 자유 대수를 구성함으로써, 저자들은 이러한 집합들이 𝔠-생성 자유 대수와 동형인 대수를 포함하고 있음을 증명하며, 각 케이스에서 가능한 최고 수준의 algebrability를 달성한다.

ABSTRACT

We present a useful technique of proving strong $\mathfrak{c}$-algebrability. As an outcome we obtain the strong $\mathfrak{c}$-algebrability of the following sets of functions: strong Sierpiński-Zygmund, nowhere Hölder, Bruckner-Garg, nowhere monotone differentiable, a certain Baire class, smooth and nowhere analytic functions.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 또는 측도론적 측면에서 작다고 간주되는 병리적 실함수 가족들에 대해 강한 𝔠-algebrability를 확립하기 위해.
• 함수 집합 내에서 자유 대수를 생성하기 위해 지수함수 유사 함수와의 복합에 기반한 일반적인 기법을 개발하고 적용하기 위해.
• algebrability 결과가 기수와 구조적 복잡성 측면에서 최적임을 보이며, 가능한 최대의 𝔠-생성자 수준에 도달함을 입증하기 위해.
• 약간의 연속성 집합을 갖는 함수나 약간의 연속성 집합을 갖는 함수와 같은 클래스들에 대한 algebrability 그림을 완성하기 위해.

제안 방법

• 적절한 생성 함수 F를 선택하고, 이를 지수함수 유사 함수 f와 복합함으로써 함수 집합 내에 기수 𝔠를 갖는 자유 대수를 구성하기 위해.
• 지수함수 유사 함수가 유한대일대일이며 르베그 영집합을 보존한다는 성질을 이용하여, 극한 집합(예: 칸토어 집합)의 이미지가 복합 후에도 칸토어 집합으로 남아 있음을 보장하기 위해.
• 생성자들의 유한한 비상수 다항식 조합으로 이루어진 집합이 목표 함수 클래스 내에 유지됨을 검증함으로써 대수적 닫힘을 확보하기 위해.
• 고정된 F ∈ F에 대해 모든 지수함수 유사 함수 f에 대해 f∘F ∈ F∖{0}이면 강한 𝔠-algebrability를 보장하는 일반 기준(정리 1.5)을 적용하기 위해.
• 복합 작용에 의해 생성 집합이 선형 독립성을 유지함을 입증함으로써 대수의 자유성 유지하기 위해.
• F가 일대일이면 생성된 대수가 C[0,1]에서 조밀하다는 사실을 이용하여, algebrability를 조밀한 부분대수로 확장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ZFC에서 CH 없이 강한 Sierpiński-Zygmund 함수의 집합이 강한 𝔠-algebrable임을 입증할 수 있는가?
• RQ2 지수함수 유사 함수와의 복합을 통해 매끄럽게 분석적이지 않은 함수의 가족이 강한 𝔠-algebrable인가?
• RQ3 Bruckner-Garg 함수와 전구간 단조가 아닌 미분 가능 함수의 algebrability가 가능한 최대 𝔠-레벨에서 확립될 수 있는가?
• RQ4 지수함수 유사 함수와의 복합으로 생성된 대수가 C[0,1]에서 조밀해지는 조건은 무엇인가?
• RQ5 n차 도함수가 어디서도 Hölder 연속이 아닌 함수의 집합에 대해 강한 𝔠-algebrability를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 강한 Sierpiński-Zygmund 함수의 가족은 ZFC 하에서 가족이 비어 있지 않은 한 강한 𝔠-algebrable이다.
• 연속점의 Gδ 집합이 사전에 정해진 함수의 집합은 강한 𝔠-algebrable이다.
• 전구간 Hölder가 아닌 함수의 집합과 거의 어디서나 불연속적인 약간의 연속 함수의 집합은 강한 𝔠-algebrable이다.
• 매끄럽게 분석적이지 않은 함수와 전구간 단조가 아닌 미분 가능 함수의 집합은 강한 𝔠-algebrable이다.
• 극한점 집합이 칸토어 집합인 유계 수열의 집합은 강한 𝔠-algebrable이다.
• 지수함수 유사 함수의 집합은 강한 𝔠-algebrable이다. 비록 생성 함수 자체가 지수함수 유사 함수가 아니더라도 말이다.