[논문 리뷰] Strong Consistency of Nonparametric Bayesian Inferential Methods for Multivariate Max-Stable Distributions

Simone A. Padoan, Stefano Rizzelli|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 30.

Statistical Distribution Estimation and Applications인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 다변량 최대안정 분포의 의존성 구조를 스퍼링 기반으로 모델링함으로써 비모수 베이지안 추론 방법을 제안하며, 다양한 정규성 조건 하에서 강한 사후 일致성을 확립한다. 이 조건들에는 최대안정 분포의 근처에 있는 데이터와 알려지지 않은 尾지수를 가진 무거운 尾분포가 포함된다.

ABSTRACT

Predicting extreme events is important in many applications in risk analysis. The extreme-value theory suggests modelling extremes by max-stable distributions. The Bayesian approach provides a natural framework for statistical prediction. Marcon, Padoan and Antoniano [ extit{Electron. J. Stat.} extbf{10} (2016) 3310--3337] proposed a nonparametric Bayesian estimation method for bivariate max-stable distributions, representing the main (infinite dimensional) parametrizations of the dependence structure with polynomials in Bernstein form. In this article, we describe a similar inferential method, but which alternatively models the dependence structure by splines. Then, for both approaches we establish the strong consistency of the posterior distributions, under the main parametrizations of the dependence structure. Next, we describe an inferential framework that extends the Bernstein polynomials based approach to max-stable distributions in arbitrary dimensions (greater than two) and we derive the posterior consistency results also in this case. Initially, the consistency results are obtained assuming that the data follow a max-stable distribution with known margins. However, the latter only provides an asymptotic model for sufficiently large sample sizes and its margins are known, potentially, apart from some unknown parameters. Then, we extend the consistency results to the case where the data come from a distribution that is in a neighbourhood of a max-stable distribution and to the case where the margins of the max-stable distribution are heavy-tailed with unknown tail indices.

연구 동기 및 목표

• 이중 이상의 경우를 넘어서는 다변량 최대안정 분포에 대한 비모수 베이지안 추론 프레임워크를 개발하는 것.
• 최대안정 분포의 의존성 구조에 대한 스퍼링 기반 모델링의 강한 사후 일치성을 확립하는 것.
• 세 개 이상의 차원에서 다변량 최대안정 모델에 대해 베르누이 계수 다항식 기반 접근법을 일반화하는 것.
• 최대안정 분포의 근처에 있는 분포를 가진 데이터에 대해 일치성 결과를 확장하는 것.
• 최대안정 모델 프레임워크 내에서 알려지지 않은 尾지수를 가진 무거운 꼬리 분포의 케이스를 다루는 것.

제안 방법

• 비모수 표현을 위해 베르누이 계수 다항식 대신 스퍼링을 사용하여 다변량 최대안정 분포의 의존성 구조를 모델링하는 것.
• 무한차원 의존성 파rameter를 사후 분포를 통해 추론하기 위해 베이지안 비모수 방법을 사용하는 것.
• 모든 데이터가 알려진 모수를 가진 최대안정 분포를 따를 경우 강한 사후 일치성을 확립하는 것.
• 모델 오Specification이 허용되는 최대안정 분포의 근처에 있는 분포를 가진 데이터에 대해 일치성 프레임워크를 확장하는 것.
• 무거운 꼬리 분포의 알려지지 않은 尾지수를 고려하기 위해 사후 일치성 결과를 이 반모수 설정으로 확장하는 것.
• 베르누이 계수 다항식 기반 접근법을 고차원 의존성 구조에 적응시켜 추론 방법을 임의의 차원으로 일반화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대안정 분포의 의존성 구조에 대한 스퍼링 기반 비모수 모델링이 강한 사후 일치성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 데이터가 진정한 최대안정 분포에서 약간 벗어나도 사후 분포가 일관성 유지되는가?
• RQ3 최대안정 분포의 꼬리가 알려지지 않은 尾지수를 가진 무거운 꼬리일 경우 강한 사후 일치성이 유지되는가?
• RQ4 베르누이 계수 다항식 기반 추론 프레임워크는 두 개 이상의 차원에서 다변량 최대안정 분포로 확장될 수 있는가?
• RQ5 무거운 꼬리 분포의 알려지지 않은 尾지수를 포함하는 반모수 가정 하에서 일치성 결과는 어떻게 유지되는가?

주요 결과

• 논문은 다변량 최대안정 의존성 구조 모델링에 대한 스퍼링 기반 비모수 베이지안 방법의 강한 사후 일치성을 확립한다.
• 데이터가 최대안정 분포의 근처에 분포할 경우 사후 일치성이 유지되어 모델 오Specification에 대한 강건성을 시사한다.
• 알려지지 않은 尾지수를 가진 무거운 꼬리 분포의 경우에도 일치성 결과가 확장되며, 이는 베이지안 프레임워크 내에서 추정 가능하다.
• 베르누이 계수 다항식 기반 접근법은 성공적으로 임의의 차원으로 일반화되었으며, 이에 따른 사후 일치성이 확립되었다.
• 이론적 프레임워크는 고차원 설정에서 탄력적인 모수 꼬리 모델링을 허용하는 비모수 베이지안 방법의 사용을 지지한다.
• 결과는 스퍼링과 베르누이 계수 다항식 표현이 약한 정규성 조건 하에서 다변량 최대안정 모델의 추론에 유효한 비모수 도구임을 검증한다.