[논문 리뷰] Strong Convergence for Discrete Nonlinear Schrödinger equations in the Continuum Limit

Younghun Hong, Changhun Yang|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 20.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 15인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 $h\mathbb{Z}^d$ 위의 이산 비선형 슈뢰딩거 방정식(DNLS)의 해가 $h \to 0$일 때 연속체 비선형 슈뢰딩거 방정식(NLS)의 해로 강한 수렴성을 확립한다. 이는 최적의 정규성 및 비선형성 조건 하에서 성립한다. 주요 기여는 연속체 설정에 적응된 균일한 $h$에 대한 스트리카르츠 추정과 산란 PDE 기법을 사용하여 정확한 수렴 속도 $O(h^{\alpha/(1+\alpha)})$를 도출한 것이다.

ABSTRACT

We consider discrete nonlinear Schrödinger equations (DNLS) on the lattice $h\mathbb{Z}^d$ whose linear part is determined by the discrete Laplacian which accounts only for nearest neighbor interactions, or by its fractional power. We show that in the continuum limit $h o 0$, solutions to DNLS converge strongly in $L^2$ to those to the corresponding continuum equations, but a precise rate of convergence is also calculated. In particular cases, this result improves weak convergence in Kirkpatrick, Lenzmann and Staffilani \cite{KLS}. Our proof is based on a suitable adjustment of dispersive PDE techniques to a discrete setting. Notably, we employ uniform-in-$h$ Strichartz estimates for discrete linear Schrödinger equations in \cite{HY}, which quantitatively measure dispersive phenomena on the lattice. Our approach could be adapted to a more general setting like \cite{KLS} as long as the desired Strichartz estimates are obtained.

연구 동기 및 목표

• 이산 비선형 슈뢰딩거 방정식(DNLS)의 연속체 극한을 $h\mathbb{Z}^d$에서 $h \to 0$일 때 엄밀히 확립하는 것.
• 키르카패트릭, 레니먼, 스태프릴라니의 이전 약한 수렴 결과를 개선하여 $L^2$ 강한 수렴을 증명하는 것.
• 연속체 극한에서 $L^2$-노름에 대한 수렴 속도를 정량적으로 도출하는 것.
• 특히 균일한 $h$에 대한 스트리카르츠 추정을 포함한 산란 PDE 기법을 이산 격자 설정에 확장하는 것.
• 적절한 스트리카르츠 추정이 확보된 경우, 더 넓은 범주에 걸친 이산 산란 방정식에 적용 가능한 일반적인 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 이산 격자에 대한 연속체 산란 PDE 기법을 적응시키기 위해, 이산 선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 균일한 $h$에 대한 스트리카르츠 추정을 활용하는 것.
• 연속체 함수를 격자 함수로 매핑하는 이산화 연산자 $f_h$와 격자 함수를 다시 연속체로 매핑하는 보간 연산자 $p_h$를 사용하는 것.
• 오차 추정을 위해 네 가지 항으로 분해하는 것: 선형 진화 오차, 비선형성 불일치, 보간 오차, 데이터 오차.
• 시간에 걸친 비선형 상호작용의 누적 영향을 제어하기 위해 그로네발의 부등식을 적용하는 것.
• 보존 법칙과 가가르도-니레버그 부등식을 이용해 연속체 및 이산 해에 대한 시간 평균 $L^∞$ 유계를 도출하는 것.
• 푸리에 승수를 통한 정의인 분수라플라스 연산자 $(-\Delta)^\alpha$와 격자 $h\mathbb{Z}^d$ 위에서의 이산 동반자 $(-\Delta_h)^\alpha$를 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 수렴이 아니라 강한 수렴이 이산 비선형 슈뢰딩거 방정식의 연속체 극한에서 확립될 수 있는가?
• RQ2 이산 해 $u_h(t)$와 연속체 해 $u(t)$ 사이의 $L^2$-노름에서의 수렴 속도는 $h \to 0$일 때 정확히 얼마인가?
• RQ3 이산 선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 균일한 $h$에 대한 스트리카르츠 추정은 연속체 극한에서 비선형 오차 항을 제어하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 강한 수렴성과 명시적인 수렴 속도를 확보하기 위해 필요한 정규성 및 비선형성 조건은 무엇인가?
• RQ5 산란 PDE 기법을 체계적으로 이산 격자 문제에 적응시켜 이러한 수렴 결과를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 격자 $h\mathbb{Z}^d$ 위의 이산 비선형 슈뢰딩거 방정식 해는 $h \to 0$일 때 연속체 NLS 해로 $L^2$에서 강하게 수렴한다.
• 수렴 속도는 $\|u(t) - p_h u_h(t)\|_{L^2} \lesssim h^{\alpha/(1+\alpha)} e^{B|t|} (1 + \|u_0\|_{H_h^\alpha})^p$로 정량화되며, 시간과 초기 데이터에 대한 명시적 의존성을 포함한다.
• 키르카패트릭, 레니먼, 스태프릴라니의 1차원 세제곱 DNLS와 장거리 상호작용에 대한 이전의 약한 수렴 결과를 개선한다.
• 균일한 $h$에 대한 스트리카르츠 추정은 증명에 필수적이며 충분하며, 격자 상의 산란 효과를 제어할 수 있게 한다.
• 보존 법칙과 가가르도-니레버그 부등식을 이용해 이산 및 연속체 해에 대한 시간 평균 $L^\infty$ 유계를 도출하였으며, 이는 비선형성을 다루는 데 핵심적이다.
• 이 프레임워크는 일반적이며, 선형 부분에 대해 균일한 $h$에 대한 스트리카르츠 추정이 확보된 경우 다른 이산 산란 방정식으로도 확장 가능하다.