[논문 리뷰] Strong convergence of a fully discrete finite element method for a class of semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative noise

Xiaobing Feng, Yukun Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비선형 항이 한쪽 방향 리프시츠 조건을 만족하고 확산 항이 전역 리프시츠 조건을 만족하는 다중성 소음이 있는 반선형 확률편미분방정식(S-PDE)에 대해 완전 이산 유한요소법을 제안한다. 비선형 항의 유한요소 보간과 고급 모멘트 추정을 결합하여, 최소한의 가정 하에 $L^2$ 및 $H^1$ 노름에서 거의 최적의 수렴 속도로 강한 수렴을 확립한다.

ABSTRACT

This paper develops and analyzes a fully discrete finite element method for a class of semilinear stochastic partial differential equations (SPDEs) with multiplicative noise. The nonlinearity in the diffusion term of the SPDEs is assumed to be globally Lipschitz and the nonlinearity in the drift term is only assumed to satisfy a one-side Lipschitz condition. The semilinear SPDEs considered in this paper is a direct generalization of the SODEs considered in [13]. There are several difficulties which need to be overcome for this generalization. First, obviously the spatial discretization, which does not appear in the SODE case, adds an extra layer of difficulty. It turns out a special discretization must be designed to guarantee certain properties for the numerical scheme and its stiffness matrix. In this paper we use a finite element interpolation technique to discretize the nonlinear drift term. Second, in order to prove the strong convergence of the proposed fully discrete finite element method, stability estimates for higher order moments of the $H^1$-seminorm of the numerical solution must be established, which are difficult and delicate. A judicious combination of the properties of the drift and diffusion terms and a nontrivial technique borrowed from [16] is used in this paper to achieve the goal. Finally, stability estimates for the second and higher order moments of the $L^2$-norm of the numerical solution is also difficult to obtain due to the fact that the mass matrix may not be diagonally dominant. This is done by utilizing the interpolation theory and the higher moment estimates for the $H^1$-seminorm of the numerical solution. After overcoming these difficulties, it is proved that the proposed fully discrete finite element method is convergent in strong norms with nearly optimal rates of convergence.

연구 동기 및 목표

• 다양한 비선형 항과 다중성 소음이 있는 반선형 S-PDE에 대해 이전의 SODE 기반 수치적 방법을 일반화한 완전 이산 유한요소법을 개발한다.
• 비선형 항의 비선형성과 공간 이산화의 곤경을 해결하기 위해 비선형 항에 대한 유한요소 보간 기법을 도입한다.
• 한쪽 방향 리프시츠 조건을 만족하는 비선형 항과 전역 리프시츠 조건을 만족하는 확산 항이라는 최소한의 조건 하에 강한 수렴 속도가 거의 최적임을 확립한다.
• 특히 비대칭적 질량 행렬로 인해 발생하는 $H^1$-반정규화 모멘트와 $L^2$-노름의 고차 모멘트를 제어하기 위한 곤경을 극복한다.
• 다양한 소음 강도와 비선형성 하에서 수렴성과 안정성을 보여주는 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증한다.

제안 방법

• 시간 이산화에 암시적 스텝을 사용하고 공간 이산화에 $H^1$-일관된 유한요소를 사용하여 완전 이산 유한요소법을 수립한다.
• 비선형 항 $f(u)$는 유한요소 보간 기법을 통해 이산화하여 수치적 방법의 안정성과 일致성을 유지한다.
• 보간 이론과 $H^1$-반정규화 모멘트 추정을 활용하여 $L^2$-노름의 두 번째 이상의 모멘트에 대한 안정성 추정을 도출한다.
• 문헌 [16]의 비틀림된 기법을 활용하여 $H^1$-반정규화 모멘트를 제어하고, 최소한의 정규성 조건 하에서 강한 수렴을 증명한다.
• 선택된 보간 전략을 통해 공간 이산화에서 발생하는 강성 행렬의 적절한 성질을 확보한다.
• 에너지 방법과 모멘트 부등식을 활용하여 강한 노름인 $L^rown\backepsilon L^2$, $\mathbb{E}L^\infty L^2$, $\mathbb{E}L^2H^1$ 에서 수렴 분석을 수행하고 오차 추정을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 항이 한쪽 방향 리프시츠 조건을 만족하고 확산 항이 전역 리프시츠 조건을 만족하는 경우, 다중성 소음이 있는 반선형 S-PDE에 대해 완전 이산 유한요소법이 강한 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 비선형 항이 한쪽 방향 리프시츠 조건만을 만족하고 확산 항이 전역 리프시츠 조건을 만족할 때, 공간 이산화 방법이 안정성과 수렴성을 유지할 수 있도록 설계할 수 있는가?
• RQ3 다중성 소음이 존재할 경우, 수치해의 $H^1$-반정규화 모멘트와 $L^2$-노름의 고차 모멘트를 제어하기 위해 어떤 기법이 필요한가?
• RQ4 이러한 S-PDE에서 강한 노름에서 달성 가능한 수렴 속도는 무엇이며, 이는 공간 및 시간 이산화 파라미터에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 소음 강도와 비선형성이 변화하는 조건에서, 특히 스토케스트 앨런-찬 방정식을 고려할 때 수치적으로 이 방법의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 완전 이산 유한요소법은 $L^rown\backepsilon L^2$, $\mathbb{E}L^\infty L^2$, $\mathbb{E}L^2H^1$ 노름에서 거의 최적의 수렴 속도로 강한 수렴을 달성한다.
• 수치 실험 결과, $L^rown\backepsilon L^2$ 및 $\mathbb{E}L^\infty L^2$ 오차의 수렴 순서는 약 2이며, $\mathbb{E}L^2H^1$ 오차의 수렴 순서는 1로 나타나며, 이는 소음 강도와 무관하다.
• 모든 시험 케이스에서 $\mathbb{E}L^2$ 및 $\mathbb{E}H^1$ 노름에서 안정성이 유지되며, $f(u) = u - u^3$, $f(u) = u - u^{11}$, $g(u) = \delta u$ 또는 $g(u) = \delta \sqrt{u^2 + 1}$ 의 경우에도 마찬가지다.
• 소음 강도를 $\delta = 1$ 에서 $\delta = 50$ 으로 증가시켜도 수렴 속도가 일정하게 유지되어 소음 크기 변화에 대해 강건함을 보인다.
• 이론적 분석을 통해 최소한의 조건인 한쪽 방향 리프시츠 조건을 만족하는 비선형 항과 전역 리프시츠 조건을 만족하는 확산 항 하에서 방법이 안정함을 확인하였다. 이는 이전의 SODE 결과를 S-PDE로 일반화한 것이다.
• 비선형 항에 대한 유한요소 보간을 사용함으로써 필요한 모멘트 추정이 가능해지고, 공간 이산화 상황에서도 수치적 방법의 일致성과 안정성이 보장된다.