[논문 리뷰] Strong convergence of propagation of chaos for McKean-Vlasov SDEs with singular interactions

Zimo Hao, Michael Röckner외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 17.

Stochastic processes and financial applications인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 히트 커널 추정과 증명 및 조반킨의 변환을 사용하여 크릴로프-로크너의 강한 잘 정의 이론을 혼합된 $L^p$-드리프트를 가진 확산 방정식으로 확장함으로써, 특이한 $L^p$-상호작용과 중간 정도의 상호작용 커널을 가진 맥클리븐-플라소프 SDE에 대한 전파의 난잡함의 강한 수렴성을 확립한다. 엔트로피 방법과 기르산وف 유사 추론을 통해 유계 가측 상호작용 조건 하에서 최적 수렴 속도를 증명하며, 경로별 입자 시스템 근사에서 핵심 과제를 해결한다.

ABSTRACT

In this work we show the strong convergence of propagation of chaos for the particle approximation of McKean-Vlasov SDEs with singular $L^p$-interactions as well as for the moderate interaction particle systems on the level of particle trajectories. One of the main obstacles is to establish the strong well-posedness of the SDEs for particle systems with singular interaction. To this end, we extend the results on strong well-posedness of Krylov and Röckner \cite{Kr-Ro} to the case of mixed $L^p$-drifts, where the heat kernel estimates play a crucial role. Moreover, when the interaction kernel is bounded measurable, we also obtain the optimal rate of strong convergence, which is partially based on Jabin and Wang's entropy method \cite{JW16} and Zvonkin's transformation.

연구 동기 및 목표

• 입자 시스템 극한에서 특이한 $L^p$-상호작용을 가진 맥클리븐-플라소프 SDE에 대한 전파의 난잡함의 강한 수렴성을 확립하는 것.
• 크릴로프와 로크너의 강한 잘 정의 이론을 혼합된 $L^p$-드리프트를 가진 SDE에까지 확장하여 특이 상호작용 항의 분석을 가능하게 하는 것.
• 상호작용 커널이 유계 가측일 경우 중간 정도의 상호작용 입자 시스템에 대해 최적 수렴 속도를 도출하는 것.
• 특이 드리프트를 가진 $N$-입자 시스템에 대한 경로별 잘 정의성 문제를 고급 확률 분석 기법을 통해 극복하는 것.

제안 방법

• 히트 커널 추정과 조반킨의 변환을 사용하여 크릴로프-로크너의 강한 잘 정의 결과를 혼합된 $L^p$-드리프트를 가진 SDE에까지 확장한다.
• 조반킨의 변환을 적용하여 SDE를 정규화하고 특이 상호작용을 가진 입자 시스템에 대해 경로별 유일성과 강한 해를 확립한다.
• 자빈과 왕의 엔트로피 방법을 활용하여 유계 가측 상호작용 커널 조건 하에서 최적 수렴 속도를 유도한다.
• 기르산오프의 변환과 상대 엔트로피 추론을 사용하여 입자 시스템의 밀도 및 그 수렴성을 제어한다.
• 중간 상호작용 영역에서 근사된 밀도와 진짜 밀도 간의 $L^rown{\infty}$-노름 차이를 제어하기 위해 볼테라 유형의 그론발 부등식을 적용한다.
• PDE의 해를 통해 $C^1$- diffeomorphism를 구성하여 입자 과정과 한계 과정을 연결하고, 이토의 공식을 통해 경로별 비교를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이한 $L^p$-상호작용을 가진 맥클리븐-플라소프 SDE에 대해 전파의 난잡함의 강한 수렴성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 특이하고 혼합된 $L^p$-드리프트를 가진 $N$-입자 시스템에 대해 강한 잘 정의성을 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ3 유계 가측 커널을 가진 중간 정도의 상호작용 입자 시스템에 대해 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 조반킨의 변환과 히트 커널 추정은 입자 시스템 근사 맥락에서 특이 드리프트를 정규화하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 자빈과 왕의 엔트로피 방법은 유계 가측 상호작용 조건에서 얼마나 날카로운 수렴 속도를 도출하는가?

주요 결과

• 논문은 특이한 $L^p$-상호작용 조건 하에서 $N$-입자 시스템의 경험적 측도가 맥클리븐-플라소프 SDE의 해로 수렴하는 강한 수렴성을 확립하였으며, 조건 $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$ 이 성립한다.
• 히트 커널 추정에 의존하는 핵심적인 기반 하에 크릴로프-로크너의 프레임워크를 확장하여 혼합된 $L^p$-드리프트를 가진 SDE에 대해 강한 잘 정의성을 증명한다.
• 유계 가측 상호작용 커널 조건 하에서 적절한 정규성 조건 하에 최적 수렴 속도 $\varepsilon^\beta$를 확보하며, $\beta \in (0, \gamma_0)$ 이다.
• 엔트로피 방법과 조반킨의 변환의 조합을 통해 수렴 속도를 도출하였으며, $\gamma \in (0,1)$ 에 대해 $\mathbb{E}|X^{N,1}_t - X_t|^{2\gamma} \lesssim \varepsilon^{2\beta}$ 를 얻는다.
• 근사된 밀도와 진짜 밀도 간의 $L^\infty$-노름 차이는 $\|\rho^\varepsilon_t - \rho_t\|_{L^\infty} \lesssim t^{-\beta/2} \varepsilon^\beta$ 를 만족하여, 밀도 의미에서의 수렴 속도를 확인한다.
• 분석은 히트 커널 추정과 상호작용 커널의 정규성에 의해 제어되는 커널을 가진 볼테라 유형의 그론발 부등식을 밀도 차이에 적용함에 기반한다.